Đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2009 – 2010 môn: Toán (dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên tin)

Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên lam sơn 
 thanh hoá năm học: 2009 – 2010
 Đề chính thức Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên tin)
 Thời gian làm bài : 150 phút( Không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi:19 tháng 6 năm 2009
Câu 1( 2,0 điểm)
	Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện của để xác định. Rút gọn 
Tìm giá trị lớn nhất của .
Câu 2 ( 2,0 điểm)
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm)
	1. Tìm các số nguyên a để phương trình: x2- (3+2a)x + 40 - a = 0 có nghiệm nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.
2. Cho là các số thoả mãn điều kiện: 
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
Câu 4 (3,0 điểm)
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
	1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành.
	2. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
	3. Tìm vị trí của điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu 5 ( 1,0 điểm) 
	Gọi là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực ta luôn có: 
 ------Hết-----
Họ và tên thí sinh:..................... Số báo danh:......................
Họ tên và chữ ký của giám thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị 2
................................................... ..................................................
 Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn 
 Thanh Hoá	 năm học 2009-2010 
	 Đáp án đề thi chính thức
 Môn: Toán ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin) 
Câu
ý
Nội dung
Điểm
1
2,0
1
Điều kiện: 
0,25
0,75
2
lớn nhất khi nhỏ nhất, điều này xẩy ra khi 
Vậy lớn nhất bằng 2
0,5
0,5
2
1
Giải hệ phương trình: 
 2x2 – xy = 1 (1)
 4x2 +4xy – y2 = 7 (2)
Nhận thấy x = 0 không thoả mãn hệ nên từ (1) ị y = (*)
Thế vào (2) được: 4x2 + 4x. - = 7
Û 8x4 – 7x2 - 1 = 0
Đặt t = x2 với t ≥ 0 ta được 8t2 - 7t - 1 = 0
 Û t = 1
 t = - (loại)
với t =1 ta có x2 = 1 Û x = ± 1 thay vào (*) tính được y = ± 1
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 1 và x = -1 
 y = 1 y = -1
0,25
0,25
0,25
0,25
2
ĐK: 
Phương trình đã cho tương đương với:
	0,25	0,25
	0,250,25	0,25
0,25
	0,2
0,25
	0,2
3
1
PT đã cho có biệt số D = 4a2 + 16a -151
PT có nghiệm nguyên thì D = n2 với n ẻ N
Hay 4a2 + 16a - 151 = n2 Û (4a2 + 16a + 16) - n2 = 167
Û (2a + 4)2 - n2 = 167 Û (2a + 4 + n)(2a + 4 - n) = 167
Vì 167 là số nguyên tố và 2a + 4 + n > 2a + 4 - n nên phải có:
 2a + 4 + n = 167
 2a + 4 - n = 1 4a + 8 = 168 a = 40 
 2a + 4 + n = -1 ị 4a + 8 = -168 ị a = -44 
 2a + 4 - n = -167
với a = 40 đựơc PT: x2 - 83x = 0 có 2 nghiệm nguyên x = 0, x = 83
với a = - 44 thì PT có 2 nghiệm nguyên là x= -1, x = - 84
0,25
0,25
0,25
0,25
2
 Ta có: 
 Suy ra 
Từ giả thiết , ta có tổng 
=.
Do đó ít nhất một trong hai số không âm
Mặt khác, theo giả thiết ta có . Từ đó suy ra ít nhất một trong hai số không âm, suy ra ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm ( đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
4
5
1
2
3
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên BHAC (1)
Mặt khác AD là đường kính của đường tròn tâm O nên DCAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BH // DC.
Hoàn toàn tương tự, suy ra BD // HC.
Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành ( Vì có 2 cặp cạnh đối song song).
Theo giả thiết, ta có: P đối xứng với E qua AB suy ra AP=AE 
 ( c.g. c ) 
 Lại có ( góc nội tiếp cùng chắn một cung) 
Mặt khác tứ giác APHB là tứ giác nội tiếp ( góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Mà 
Hoàn toàn tương tự, ta có: .Do đó:
Suy ra ba điểm P, H, Q thẳng hàng
Vì P, Q lần lượt là điểm đối xứng của E qua AB và AC nên ta có 
AP = AE = AQ suy ra tam giác APQ là tam giác cân đỉnh A
Mặt khác, cũng do tính đối xứng ta có ( không đổi)
Do đó cạnh đáy PQ của tam giác cân APQ lớn nhất khi và chỉ khi AP, AQ lớn nhất AE lớn nhất. 
Điều này xảy ra khi và chỉ khi AE là đường kính của đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC E D
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
A
B
C
H
a
c
b
Vì ta có:
(*)
Giả sử thì . Với cạnh lớn nhất 
nhọn (gt) do vậy kẻ đường cao BH ta có từ đó suy ra biểu thức (*) là không âm suy ra điều phải chứng minh
	0,25	0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25