Đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lương Văn Chánh năm học 2013-2014 môn: Toán (đề chung)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
--------------
Câu 1.(1,00 điểm) Cho biểu thức: 4 2 3 4 2 3.A = − + +
Rút gọn biểu thức A, từ đó tính giá trị biểu thức A3.
Câu 2.(1,50 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 2 2 2 2 2 1 0x x− + − = ;
b) 4 22 5 12 0x x+ − = .
Câu 3.(2,00 điểm) 
a) Vẽ đồ thị của các hàm số y x= − và 2 2y x= − + trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị trên. Hãy tìm tọa độ điểm A.
c) Vẽ qua điểm B(0;2) một đường thẳng song song với trục Ox, cắt đường thẳng 
y x= − tại điểm C. Tìm tọa độ điểm C rồi tính diện tích tam giác ABC (đơn vị đo trên các 
trục tọa độ là xen – ti – mét).
Câu 4.(1,50 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A lúc 7 giờ. Vào lúc 10 giờ 20 phút, một 
chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến sông A là 25 km. Hỏi vận 
tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 10 km một giờ?
Câu 5.(3,00 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1cm, nội tiếp trong đường tròn tâm 
O. Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là H.
a) Chứng minh rằng tứ giác BOCH là hình thoi.
b) Gọi E là giao điểm của CO với cạnh AB. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt 
BH tại K. Chứng minh 3 điểm K, D, E thẳng hàng.
c) Tính diện tích phần chung của hình tròn (O) và tứ giác ABKC.
Câu 6.(1,00 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2 22 3 1 9P x x x= − − − − .
------------HẾT------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....;Số báo danh:............
Chữ kí giám thị 1:.......; Chữ kí giám thị 2:................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
--------------
I- HƯỚNG DẪN CHUNG
- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm 
từng phần như hướng dẫn quy định.
- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm 
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
II- ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1
(1,00đ)
Rút gọn biểu thức 4 2 3 4 2 3A = − + + và tính 3A 1,00đ
Ta có: 3 2 3 1 3 2 3 1A = − + + + + 0,25đ
 ( ) ( )2 23 1 3 1= − + + 0,25đ
 ( ) ( )3 1 3 1 2 3= − + + = . 0,25đ
Từ đó: ( ) 33 32 3 2 .3 3 24 3A = = = . 0,25đ
2
(1,50đ)
Giải phương trình
a) Giải phương trình: 2 2 2 2 2 1 0x x− + − = . 0,50đ
Ta có: ( ) ( )2 2' 2 2 2 1 2 1 0∆ = − + = − > 0,25đ
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 2
2 2 1 2 2 1;
1 1
x x+ − − += = hay 1 22 2 1; 1x x= − = .
Vậy phương trình hai nghiệm: 1 22 2 1; 1x x= − = .
0,25đ
b) Giải phương trình: 4 22 5 12 0x x+ − = . 1,00đ
Đặt 2 , 0t x t= ≥ . Khi đó ptđc trở thành: 22 5 12 0t t+ − = . 0,25đ
2 25 4.2.( 12) 121 11 0∆ = − − = = > 0,25đ
Suy ra 1 2
5 11 5 11;
2.2 2.2
t t− + − −= = , hay 1 2
3 ; 4
2
t t= = − (loại). 0,25đ
Với 23 3 6 .
2 2 2
t x x= ⇒ = ⇔ = ± Vậy p/trình có nghiệm: 6
2
x = ± . 0,25đ
3
(2,00đ)
a) Vẽ đồ thị hàm số y x= − và 2 2y x= − + 0,75đ
- Lập các bảng giá trị:
+ Hàm số y x= −
 x 0 -1
 y 0 1
+ Hàm số 2 2y x= − +
 x 0 1
 y 2 0
0,25đ
0,25đ
- Đồ thị : như hình vẽ 0,25đ
b) Xác định tọa độ điểm A 0,50đ
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
2
2 2 2 2 2
y x y x y
y x x x x
= − = − = −  
⇔ ⇔  
= − + − = − + =   . Hay A(2;-2).
0,50đ
c) Xác định tọa độ điểm C và tính SABC 0,75đ
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
2
2 2
y x x
y y
= − = − 
⇔ 
= =  . Do đó C(-2;2).
0,25đ
Qua A kẻ ( )AH BC H BC⊥ ∈ . Dựa vào đồ thị ta có AH = 4, BC = 2.
Do đó, 2
1 1. .4.2 4( )
2 2ABC
S AH BC cm= = = .
0,25đ
0,25đ
4
(1,50đ)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình 1,50đ
10h20 – 7h = 3h20 = 
10
3
h. 0,25đ
Gọi x (km/h), x >0 là vận tốc của thuyền;
Khi đó vận tốc của ca nô là x + 10 (km/h). 0,25đ
Thời gian từ lúc thuyền khởi hành đến lúc gặp ca nô là 
25
x
 (h);
Thời gian từ lúc ca nô rời bến đến lúc gặp thuyền là 
25
10x +
(h).
0,25đ
2
-2
-2 1
B 2
O
C
A
H
-1
1
O
B 2
1-2
-2
2
1
-1
H
A
C
y
x
Theo đề ra ta có phương trình: 2
25 25 10 10 75 0
10 3
x x
x x
= + ⇔ + − =
+
. 0,25đ
Giải phương trình ta được: x = 5, x = -15 (loại). 0,25đ
Vậy vận tốc của thuyền là 5km/h. 0,25đ
5
(3,00đ)
Lưu ý: có vẽ hình mới chấm điểm câu này.
a) Chứng minh BOCH là hình thoi 0,75đ
Vì BO là đường cao nên ,BO AC⊥ AH là đường kính đường tròn (O) nên 
· 090ACH CH AC= ⇔ ⊥ suy ra BO//CH.
0,25đ
Tương tự CO//HB; do đó OBHC là hình bình hành . 0,25đ
Hơn nữaOB OC= (bán kính đường tròn), suy ra BOCH là hình thoi. 0,25đ
b) Chứng minh K, D, E thẳng hàng 1,00đ
Tứ giác EBKC có · · 090BEC EBK= = (theo a); 0,25đ
Lại có:· · 060KCB BAC= = (cùng chắn »BC );
Và · · 030CBH CAH= = (cùng chắn »HC );
0,25đ
· · ·( ) ( )0 0 0 0 0180 180 60 30 90CKB KCB CBH⇒ = − + = − + =
Suy ra tứ giác EBKC là hình chữ nhật.
0,25đ
Suy ra hai đường chéo KE và BC giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
Để ý rằng BOCH là hình thoi (chứng minh trên) nên D là trung điểm 
của BC, suy ra D KE∈ , nghĩa là K, D, E thẳng hàng.
0,25đ
c) Tính diện tích phần chung của tứ giác ABKC và (O) 1,25đ
Gọi S là diện tích cần tìm, S1 là diện tích tứ giác ABHC, S2 là diện tích 
hình quạt tròn OHC và S3 là diện tích tam giác OHC. 
ABC∆ đều suy ra 3 2 3 2 3, 2
2 3 3 3
AD R OH AD AH R= ⇒ = = = = = .
0,25đ
Vì AH BC⊥ suy ra 1
1 1 2 3 3. 1
2 2 3 3
S AH BC= = × × = . 0,25đ
· · 02 60COH CAH= = 22
60
360 18
S R pipi⇒ = × = 0,25đ
B CD
A
E
O
H
K
3
1 1 1 1 3 3. . . .
2 2 2 2 2 3 12
BCS DC OH OH= = = = 0,25đ
Vậy 1 2 3
3
4 18
S S S S pi= + − = + (cm2). 0,25đ
6
(1,00đ)
Tìm GTNN biểu thức: 4 2 22 3 1 9P x x x= − − − − 1,00đ
Ta có: ( ) ( ) 24 2 2 2 22 1 3 1 10 1 3 1 10P x x x x x= − + − − − = − − − − 0,25đ
2
2 3 49 491
2 4 4
x = − − − ≥ −   . 0,25đ
Dấu “=” xảy ra 2 23 5 101
2 2 2
x x x⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± . 0,25đ
Vậy 49 10( )
4 2
Min P x= − ⇔ = ± . 0,25đ