Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 (Có đáp án)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
TG: 120 phút
Ngày thi: 6/6/2023
(Môn thi thứ 3: Môn anh văn)
Bài 1. (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: 5x+3y=1x-3y=5
2. Cho biểu thức: với x ≥0, x≠16.
 a) Rút gọn biểu thức P
 b) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 2. (2,0 điểm)
1. Cho phương trình ( m là tham số). Tìm tất cả m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện: .
2. Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng và 
 a) Biết đường thẳng đi qua điểm A(-1;5). Tìm a
 b) Tìm tọa độ giao điểm của với trục hoành, trục tung. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng .
Bài 3. (1,5 điểm) 
Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, cả hai trường A và B có tổng số 380 thí sinh dự thi. Sau khi có kết quả, số thí sinh trúng tuyển của cả 2 trường là 191 thí sinh. Theo thống kê thì trường A có tỉ lệ trúng tuyển là 55% tổng số thí sinh dự thi của trường A, trường B có tỷ lệ trúng tuyển là 45% tổng số thí sinh dự thi của trường B. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu thí sinh dự thi
Bài 4. ( 3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn có , các đường cao của tam giác cắt nhau tại , đường thẳng cắt đường thẳng tại .
 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp.
 2. Chứng minh hai tam giác và đồng dạng, từ đó suy ra .
 3. Đường thẳng cắt lại đường tròn tại khác , chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn.
 4. Gọi là trung điểm , chứng minh vuông góc với .
Bài 5. ( 1 điểm)
 Cho a, b, c >0 thỏa mãn: . Tìm GTLN của: 
BÀI GIẢI
Bài 1. (2,0 điểm) 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 
2. a) 
b) Với x ≥ 0; x≠16.
Ta có 
Do đó: 
Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy giá trị lớn nhất của P là 2, khi x = 0.
Bài 2.
	2. 1. Ta có ( m tham số)
Để pt đã cho có hai nghiệm phân biệt 
Với , pt đã cho có hai nghiệm phân biệt . 
Áp dụng định lý Vi-ét: 
Ta có:
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
2.2.
a) (d) đi qua điểm A(-1;5) , thay vào (d) ta được: 
Vậy 
b) 
Gọi A là giao điểm của d1 với Ox. 
Thay y = 0 vào d1 ta được: -3x + 2 = 0
Tọa độ điểm A là: 
Gọi B là giao điểm của d1 với Oy. Thay x = 0 vào d1 ta được: y = -3.0+2 = 2.
Tọa độ điểm B là ( 0; 2) 
Gọi OH là khoảng cách từ O đến d1, ta có:
 ( Đơn vị độ dài)
Vậy khoảng cách từ O đến d1 là đơn vị độ dài
Bài 3.
	Gọi x ( HS ) là số học sinh dự thi của trường A. ĐK: 0 < x < 380, x nguyên
Gọi y ( HS ) là số học sinh dự thi của trường B. ĐK: 0 < y < 380, y nguyên
Số học sinh trúng tuyển của trường A là ( HS)
Số học sinh trúng tuyển của trường B là ( HS)
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
Vậy: Số học sinh của trường A là 200 học sinh
Số học sinh của trường B là 180 học sinh
	Bài 4.
1. Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác có: 
 cùng nhìn BC dưới 1 góc 900
Suy ra B,C,E,F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Vậy tứ giác nội tiếp.
Chứng minh hai tam giác và đồng dạng, từ đó suy ra .
Vì tứ giác nội tiếp nên ( góc ngoài tứ giác nội tiếp)
Xét và có:
 chung, .
Suy ra 
Khi đó .
3. Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn.
Cách 1. Ta có cùng thuộc đường tròn , suy ra 
Theo câu a, tứ giác nội tiếp, do đó 
Từ (1) và (2) suy ra . Khi đó tứ giác KGFB nội tiếp. 
Mặt khác:
Xét tứ giác AGFE có: . Suy ra tứ giác nội tiếp.
Ngoài ra, tứ giác AFHE nội tiếp 
Vậy các điểm cùng thuộc một đường tròn.
Cách 2.
Ta chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp (1) vì 
 	 	Vì tứ giác AGBC nội tiếp (O) nên 
 	Do đó KGB KCA (g.g) => KG.KA = KB.KC (2)
 	 Mà KB.KC = KE.KF (3) chứng minh câu 2
 	Từ (2) và (3) Suy ra : KE.KF = KG.KA hay 
 	Xét KGF và KEA có chung và 
 	Do đó KGF KEA (c.g.c) => 
 	Suy ra tứ giác AGFE nội tiếp (4)
 	Tử (1) và (4) suy ra năm điểm A, G, F, E, H cùng thuộc một đường tròn.
4. Gọi là trung điểm , chứng minh vuông góc với .
Cách 1. Kẻ đường kính AD, khi đó : 
Suy ra . Do đó BHCD là hình bình hành.
Mà I là trung điểm của BC nên I là trung điểm của HD. Suy ra H,I,D thẳng hàng (3)
Hơn nữa : (G thuộc đường tròn )
 (A,G,F,H,E cùng thuộc thuộc đường tròn đường kính AH)
Khi đó D,H,G thẳng hàng (4). 
Từ (3), (4) suy ra D,I,H,G thẳng hàng. Vậy 
Cách 2. Kẻ đường kính AD ta có nên DG AK (5)
 	Ta chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành 
 	 => ba điểm H, I, D thẳng hàng (6)
 	 Vì năm điểm A, G, F, E, H cùng thuộc một đường tròn.
 Nên tứ giác AGHE nội tiếp => 
Mà = 90o => hay HG AK (7)
 	 Từ (5); (6) và (7) suy ra G, H, I, D thẳng hàng
 	Vậy HI AK.
Bài 5.
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 
Ta có: 
Khi đó: 
Tương tự: ; 
Nên 
Vậy GTLN của P = 1