Đề thi tuyển sinh vào khối trung học phổ thông chuyên năm học 2011 môn thi: Toán Học

 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập -Tự do - Hạnh phúc 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI TUYỂN SINH 
VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2011 
Môn thi: Toán học 
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) 
Thời gian làm bài :120 phút 
Câu 1: Cho biểu thức 
xxyyx
yxx
xxyy
yyx
xy
yxA













 2
224
22
22 444:
2
2
2 . 
 Với 222;2;0;0 xyyxyx  
 1. Rút gọn biểu thức A 
 2. Cho y = 1 hãy tính x để 
5
2
A 
Câu 2: 
 Một nhóm công nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu 
họ thực hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 10 
sản phẩm, nên đó hoàn thành sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công 
nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm. 
Câu 3 : 
 Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d) y=mx - m2 + 3 (m là tham số ). 
Tính tất cả các giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt 
có hoành độ x1; x2 . Với giá trị nào của m thỡ x1; x2 là độ dài cạnh góc vuông của 
tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 
2
5 . 
Câu 4 : 
 Cho đường tròn (O) đường kính AB=10. Dây cung CD vuông góc với AB 
tại điểm E sao cho AE =1. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau 
tại K, AK và CE cắt nhau tại M. 
 1.Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK .Tính BK 
 2. Tính diện tích tam giác CKM. 
Câu 5: 
 Cho hình thoi ABCD có BAD =1200. Các điểm M, N chạy trên cạnh BC và 
CD tương ứng sao cho MAN =300. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp 
tam giác MAN chạy trên đường thẳng cố định. 
Câu 6: 
Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1... 4
1 2 3 4 5 6 79 80
    
   
----------------------------------Hết----------------------------------- 
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh......... 
Bài 5: 
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp MAN 
  0MON 2MAN 60   
Lại có MO = NO nên MAN đều. 
  0ONM 60  . 
Tứ giác MONC có   0 0MCN 120ONM 60  
Tứ giác MONC nội tiếp đường tròn 
 0OCM 60  OAC cố định (ĐPCM) 
O
N
DA
B
CM 
Bài 6: Ta có : 
1 1 1 1 1 1
; ;...
1 2 2 3 3 4 3 4 79 80 80 81
  
     
 1 1 1 1 1 1... ...
1 2 3 4 79 80 2 3 4 5 80 81
      
     
1 1 1 1 1 1
2 ... ...
1 2 3 4 79 80 1 2 2 3 80 81
 
              
1 1 1
2 ... 2 1 3 2 ... 81 80
1 2 3 4 79 80
 
              
1 1 1
... 4
1 2 3 4 79 80
    
  
Bé gi¸o dôc ®µo t¹o céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam 
Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m hµ néi §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc 
§Ò chÝnh thøc 
®Ò thi tuyÓn sinh 
Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2011 
M«n thi: To¸n häc 
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin) 
Thêi gian lµm bµi :150 phót 
Câu 1 Cho 
8
2
8
12
2
1
a 
 1.Chứng minh rằng 0224 2  aa 
 2. Tính giá trị của biểu thức 142  aaaS 
Câu 2 
 1.Giải hệ phương trình 









yxyx
yx
xyyx
2
22 12
 2. Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức : 
 01222 2233  babaabba 
Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ. 
Câu 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng 222 cbap  với a, b, c là các số 
nguyên dương sao cho 444 cba  chia hết cho p 
Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE và CF là 
các đường cao .Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S các 
đường thẳng BC và OS cắt nhau tại M 
 1.Chứng minh ME
BS
AE
AB
 
 2. Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS 
 3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC . 
 Chứng minh NP vuông góc với BC 
Câu 5 Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu) 
,trong đó có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và 
45 viên bi còn lại là viên bi màu vàng hoặc màu trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên). 
Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì .Chứng minh rằng trong số các viên bi lấy 
ra luôn có ít nhất 45 viên bi cùng màu .Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì 
thì kết quả bài toán còn đúng không ? 
----------------------------------HÕt----------------------------------- 
Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm 
Hä vµ tªn thÝ sinh.................................................................sè b¸o danh