Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học: 2007- 2008 môn thi: toán thời gian làm bài 150 phút

Mã kí hiệu
T- ĐTS10CH1-08
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên 
Năm học: 2007- 2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề này gồm 4 câu1trang)
câu1: (3điểm) 
 Cho biểu thức 
Rút gọn P .
Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên .
Câu 2 (2điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức x3n+1+x2n+1 chia hết cho đa thức x2 +x +1
 tìm số dư trong phép chia A = 38 +36 +32004 cho 91
Câu 3(4điểm) 
 Cho đường tròn ( O ;R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) tại hai điểm A,B . Từ một điểm M trên đường thẳng (d) và ở ngoài đường tròn (O) , (d) không đi qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN , MP với đường tròn (O) (N,P là hai tiếp điểm).
chứng minh 
 chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di động trên đường thẳng (d) .
xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông .
Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP di động trên một đường cố định khi M di động trên (d) 
Câu 4(1điểm) Giả sử x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện :
 x+y+z +xy+yz+zx = 6 Chứng minh rằng x2+y2+z2 3 
Mã kí hiệu
T- HDTS10CH1-08
Hướng dẫn chấm tuyển sinh vàolớp10chuyên
Năm học: 2007- 2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút)
(Đề này gồm 4 câu 3 trang)
 Câu1(3đ)
a)(1đ)
+ĐK x > 0 và x 1
+rút gọn được
P =
 = x- +1 
b)(1đ) 
+biến đổi P =
+suy ra minP = 
đạt được khi x= 
c) (1đ)
+ Q =.
Để ý rằng với x > 0 và x1 ta có
M=>1(theo BĐT Cauchy)
Suy ra 0<Q<2.Vì Qnguyên nên Q=1
Suy ra x=Thử lại đúng 
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 2(2đ)
a)(1đ)
+ tacó 
Do đó với mN* thì 
Từ đó 
+Đặt n=3a+r (a ; r = 0,1,2) tacó
=x(
=x
Chia hết cho x2+x+1 khi và chỉ khi
 x2r +x+1 x2+x+1
 -Nếu r = 0 thì x2r +x+1=x+2 không chia hết cho x2+x+1
-Nếu r = 1 thì x2r +x+1= x2+x+1 chia hết cho x2+x+1
-Nếu r = 2 thì x2r +x+1= x4+x+1=
x(x3-1)+2x+1 không chia hết cho x2+x+1
+Tóm lại với nN* , n chia cho 3 dư 1 thì
 x3n+1+x2n+1 chia hết cho x2 +x +1
b)(1đ)
+ ta có 36-1 =729-1=728 91 
Do đó A= 38 +36 +32004
=
= chia cho 91 dư 11
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3(4đ)
a) 1(đ)
O
M
N
P
d
A
B
C
+ Ta có tứ giác MNOP nội tiếp
+góc NMO và góc NPO là hai góc nội tiếp cùng chắn cung NO của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNOP
+ suy ra 
b)(1đ)
+ gọi C là trung điểm của dây AB 
+suy ra CO vuông góc với CM hay C thuộc đuờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP
+Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định là O và C
c)(1đ)
+ Tứ giác MNOP là hình vuông khi và chỉ khi tam giác OMN vuông cân tại N
Khi và chỉ khi OM = ON
Khi đó M là giao của đường tròn tâm O bán 
kính Rvà đường thẳng (d)
d)(1đ)
+Tâm I của đường tròn nội tiếp Tam giác MNP là giao của ba đường phân giác trong của Tam giác MNP
+Suy ra I là trung điểm của cung và thuộc OM
+vậy I di động trên cung lớn của đường tròn tâm O bán kính R
A
0,25đ
0.5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Câu 4 (1điểm)
+ Ta có ; ; 
(theo bất đẳng thức cô si )
+mặt khác ta lại có 2(
+cộng 4 bất đẳng thức trên theo từng vế ta được: 3(= 6
+Suy ra 
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y = z = 1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ