Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn năm học 2008 - 2009

 SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 6
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2008 - 2009
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 18/6/2008
Câu 1: (1,5 điểm).
	Chứng minh bất đẳng thức:	 với a > 0.
Câu 2: (3,0 điểm).
	Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 
Câu 3: (1,5 điểm).
	Cho x ≥ 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Câu 4: (2,5 điểm).
	Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại D, (D khác C). Trên tia Ax lấy điểm M. Đường thẳng qua O vuông góc với BM cắt CD tại E. Tia AE cắt BM tại F. Chứng minh rằng điểm F luôn nằm trên một tia cố định khi M (M khác A) di động trên tia Ax.
Câu 5: (1,5 điểm).
	Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > 1 sao cho chia hết cho y đồng thời chia hết cho x.
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Môn thi: TOÁN (dành cho lớp chuyên Toán)
------------------------------------------
Nội dung
Điểm
Câu 1: (1,5 điểm).
	Với a > 0 ta có:
 	 < 	(đpcm).
1,0
0,5
Câu 2: (3,0 điểm).
a)	Điều kiện x ≠ ± 3. Khi đó ta có:
	 2x(x + 3) = x2 + 11x – 6
	 x2 – 5x + 6 = 0	(*)
	Phương trình (*) có ∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0
	Do đó phương trình (*) có hai nghiệm là
 , . 
	Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x1 = 3 không thỏa mãn nên phương trình đã cho có một nghiệm x = 2.
0,25
0,5
0,5
0,25
b) Ta có 
	Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là , 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3: (1,5 điểm).
	Ta có = 
	Mà và (do x ≥ 1).
	Do đó 
	Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1
	Vậy GTNN của y là , giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1.
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Câu 4: (2,5 điểm).
	Kẻ qua E đường thẳng song song với BM cắt Ax và AB theo thứ tự tại G và H. Ta có GH EO	(1)
	Suy ra DOEG, EOHC là các tứ giác nội tiếp được.
	Từ đó 	
	Ta lại có DO = CO. Do đó ∆DOG = ∆COH
	Suy ra OG = OH. Kết hợp với (1) suy ra GE = EH.
	Lại có GH// MB nên dễ thấy BF = MF.
	Vì vậy nếu I là trung điểm của AB thì FI // Ax.
	Mà Ax cố định và I cố định nên suy ra F luôn luôn nằm trên tia Iy cố định song song với Ax.	(đpcm).
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
Câu 5: (1,5 điểm).
 	Dễ thấy x ≠ y vì x > 1, y > 1. Không giảm tính tổng quát ta giả sử x > y.
	Đặt 3y + 1 = px. Vì x > y suy ra 3x > 3y + 1 = px Þ p < 3 Þ p {1, 2}
	· Nếu p = 1 thì x = 3y + 1 Þ 3x + 1 = 9y + 4 y Þ 4 y Þ y {2, 4}
	+ Nếu y = 2 Þ x = 7
	+ Nếu y = 4 Þ x = 13
	· Nếu p = 2 Þ 2x = 3y + 1 Þ 2(3x + 1) = 6x + 2 = 3(3y + 1) + 2 = 9y + 5
	Vì 3x + 1 y Þ 9y + 5 y Þ y = 5 Þ x = 8
	Vậy ta có các nghiệm là (7, 2), (2, 7), (8, 5), (5, 8), (4, 13), (13, 4).
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25