Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năng khiếu năm học 2003-2004 môn Toán

Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh 
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU 
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năng khiếu năm học 2003-2004 
Môn: Toán. Ngày thi: 7/6/2003. 
Thời gian làm bài: 150 phút. 
Câu 1. 1) Chứng minh rằng phương trình (a2 – b2)x2 + 2(a3 – b3)x + a4 – b4 = 0 luôn 
có nghiệm với mọi a, b. 
 2) Giải hệ phương trình 3 3
5
( 1) ( 1) 3
x y xy
x y
+ + =⎧⎨
5+ + + =⎩
Câu 2. 1) Với mỗi số nguyên dương n, đặt an = 2
2n+1 – 2n+1 + 1, bn = 2
2n+1 + 2n+1 + 1. 
Chứng minh rằng với mọi n, an.bn chia hết cho 5 và an+bn không chia hết cho 5. 
2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của 
chúng bằng tổng của chúng. 
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AA1. Hạ A1H vuông góc AB, 
A1K vuông góc AC. Đặt A1B = x, A1C = y. 
 1) Gọi r và r’là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và tam giác AHK 
tương ứng. Hãy tính tỷ số r’/r theo x, y, suy ra giá trị lớn nhất của tỷ số đó. 
 2) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Tính bán 
kính của đường tròn đó theo x, y. 
Câu 4: 1) Cho đường tròn (C) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. 
Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N. Chứng minh 
rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O. 
 2) Cho đường tròn (C) tâm O và một đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn. I 
là một điểm di động trên (D). Đường tròn đường kính IO cắt (C) tại M, N. Chứng minh 
rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 5: 1) Cho một bảng vuông 4x4. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta 
ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tuỳ ý (mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho 
phép chọn một hàng hoặc một cột bất kỳ và trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng 
thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các 
phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0. 
 2) Ở vương quốc “Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ 
tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì tóc 
của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ, khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng 
thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp 
nhau như vậy ở “Sắc màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc được không? 
HẾT 
Cán bộ coi thi không giải thích đề thi.