Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Bắc Ninh năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán

UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh) 
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2013 
Câu 1. (2,0 điểm) 
 a) Giải phương trình: 2 3 0.x   
 b) Với giá trị nào của x thì biểu thức 5x  xác định? 
 c) Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2. .
2 1 2 1
A
 

 
Câu 2. (2,0 điểm) 
Cho hàm số: 1y mx  (1), trong đó m là tham số. 
 a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm (1;4)A . Với giá trị m vừa tìm được, hàm số 
(1) đồng biến hay nghịch biến trên ? 
 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng d: 2 1.y m x m   
Câu 3. (1,5 điểm) 
 Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng 
vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của 
người đi xe đạp khi đi từ A đến B. 
Câu 4. (3,0 điểm) 
 Cho nửa đường tròn đường kính BC, trên nửa đường tròn lấy điểm A (khác B và C). 
Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên cung AC lấy điểm D bất kì (khác A và C), 
đường thẳng BD cắt AH tại I. Chứng minh rằng: 
a) IHCD là tứ giác nội tiếp; 
b) AB2 = BI.BD; 
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một đường thẳng cố định 
khi D thay đổi trên cung AC. 
Câu 5. (1,5 điểm) 
 a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( ; )x y thỏa mãn phương trình: 
 2 22 3 2 4 3 0.x y xy x y      
b) Cho tứ giác lồi ABCD có BAD và BCD là các góc tù. Chứng minh rằng .AC BD 
------------Hết------------ 
(Đề này gồm có 01 trang) 
 Họ và tên thí sinh: ..Số báo danh: ..... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
www.VNMATH.com
UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh) 
Câu Lời giải sơ lược Điểm 
a) (0,5 điểm) 
Ta có 2 3x  0,25 
3
2
 x 0,25 
b) (0,5 điểm) 
5x  xác định khi 5x   0 0,25 
5x  0,25 
c) (1,0 điểm) 
A= 
2( 2 1) 2( 2 1)
.
2 1 2 1
 
 
 0,5 
1 
(2,0 điểm) 
= 2. 2 2 0,5 
a) (1,0 điểm) 
Vì đồ thị hàm số (1) đi qua (1;4)A nên 4 1m  m 3  
Vậy 3m  đồ thị hàm số (1) đi qua (1;4)A . 
0,5 
Vì 3 0m   nên hàm số (1) đồng biến trên  . 0,5 
b) (1,0 điểm) 
Đồ thị hàm số (1) song song với d khi và chỉ khi 
2
1 1
m m
m
 

 
0,5 
2 
(1,0 điểm) 
1m  . 
Vậy 1m  thỏa mãn điều kiện bài toán. 
0,5 
Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x km/h, 0x  . 
Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 
36
x
0,25 
Vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là x+3 
Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là 
36
3x 
 0,25 
Ta có phương trình: 
36 36 36
3 60x x
 

 0,25 
Giải phương trình này ra hai nghiệm 
 
12
15
x
x loai


  
 0,5 
3 
(1,5 điểm) 
Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h 0,25 
www.VNMATH.com
 a) (1,0 điểm) 
O
D
I
H CB
A
Vẽ hình đúng, đủ phần a. 
0,25 
AH  BC  090 .IHC  (1) 0,25 
 090BDC  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay  090 .IDC  (2) 0,25 
Từ (1) và (2)   0180IHC IDC    IHCD là tứ giác nội tiếp. 0,25 
b) (1,0 điểm) 
Xét ABI và DBA có góc B chung,  BAI ADB (Vì cùng bằng ACB ). 
Suy ra, hai tam giác ,ABI DBA đồng dạng. 
0,75 
2 .
AB BD
AB BI BD
BI BA
    . (đpcm) 0,25 
c) (1,0 điểm) 
 BAI ADI (chứng minh trên). 0,25 
AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp  ADI với mọi D thuộc cung AD và A là 
tiếp điểm. (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) 
0,25 
Có AB AC tại A AC luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp AID . Gọi M là tâm 
đường trong ngoại tiếp AID M luôn nằm trên AC. 
0,25 
4 
(3,0 điểm) 
Mà AC cố định M thuộc đường thẳng cố định. (đpcm) 0,25 
a) (1,0 điểm) 
    2 22 3 2 4 3 0 2 2 2 3x y xy x y x y x y x y            
  2 2 3x y x y      
Do ,x y nguyên nên 2 , 2x y x y   nguyên 
Mà    3 1 .3 3 .1    nên ta có bốn trường hợp 
0,5 
2 1 3
2 3 2
x y x
x y y
    
 
    
 ;  
2 3 9
2 1 6
x y x
loai
x y y
    
 
       
 
2 1 11
2 3 6
x y x
loai
x y y
    
 
       
; 
2 3 1
2 1 2
x y x
x y y
    
 
    
Vậy các giá trị cần tìm là ( ; ) (1;2), (3;2)x y  . 
0,5 
b) (0,5 điểm) 
5 
(1,5 điểm) 
Vẽ đường tròn đường kính BD. Do các góc A, C tù nên hai điểm A, C nằm trong đường 
tròn đường kính BD. Suy ra, AC BD (Do BD là đường kính). 0,5 
www.VNMATH.com
Lưu ý: 
- Thí sinh làm theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. 
- Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng 
dẫn chấm và được thống nhất trong hội đồng chấm. 
- Điểm toàn bài không làm tròn số ( ví dụ: 0,25, hoặc 0,75 vẫn giữ nguyên ). 
www.VNMATH.com
UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) 
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2013 
Câu 1. (1,5 điểm) 
 a) Rút gọn biểu thức 
2 2 1 1
:
1 1 1 1
x x x
A
x x x x x x x
   
   
      
 với 0, 1x x  . 
 b) Cho 
  33 1 . 10 6 3
21 4 5 3
x
 

 
, tính giá trị của biểu thức  
2013
2 4 2 .P x x   
Câu 2. (2,0 điểm) 
Cho phương trình: 2 22 4 2 1 0x mx m    (1), với x là ẩn, m là tham số. 
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 
b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là 1 2, .x x Tìm m để 
2 2
1 22 4 2 9 0.x mx m    
Câu 3. (1,5 điểm) 
a) Cho các số dương x, y thỏa mãn 3 3x y x y   . Chứng minh rằng 2 2 1.x y  
b) Giải hệ phương trình: 
2
2
2
2 1
2 1.
2 1
x y
y z
z x
  

 
  
Câu 4. (3,0 điểm) 
 Cho đường tròn tâm O đường kính 2BC R , điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho 
tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp 
điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng: 
a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn; 
b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng; 
c) 2 2. .HA HF R OH  
Câu 5. (2,0 điểm) 
 a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương  ; ;x y z thỏa mãn 
2013
2013
x y
y z


 là số hữu tỷ, 
đồng thời 2 2 2x y z  là số nguyên tố. 
b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, 
EAB cùng có diện tích bằng 1. 
------------Hết------------ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
www.VNMATH.com
UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) 
Câu Lời giải sơ lược Điểm 
a) (1,0 điểm) 
2 2 1 1
( 1)( 1) 1
x x x x x x x
A
x x x x
        
 
   
 0,5 
1 1
1
( 1)( 1) 1
x x x
x x x x
  
  
   
. 0,5 
b) (0,5 điểm) 
  33
2
3 1 . ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 2
5 2.
20 4 2( 5 2)( 20 1) 3
x
   
    
  
 0,25 
1 
(1,5 điểm) 
2 4 1 0 1x x P       0,25 
a) (1,0 điểm) 
2 2' 4 2(2 1) 2 0m m      với mọi m. 0,5 
Vậy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 0,5 
b) (1,0 điểm) 
Theo ĐL Viét ta có 1 2 2x x m  . 
Do đó, 2 2 2 21 2 1 1 1 22 4 2 9 (2 4 2 1) 4 ( ) 8.x mx m x mx m m x x          
28 8 8( 1)( 1)m m m     (do 2 21 12 4 2 1 0x mx m    ). 
0,5 
2 
(2,0 điểm) 
Yêu cầu bài toán: ( 1)( 1) 0 1 1m m m       . 0,5 
a) (0,5 điểm) 
Do 3 30, 0x y  nên 0x y  . 
3 3 3 3 2 2 2 21 1.x y x y x y x xy y x y            
0,5 
b) (1,0 điểm) 
Cộng vế với vế các phương trình của hệ ta được: 
     
2 2 22 2 22 1 2 1 2 1 0 1 1 1 0x x y y z z x y z                (1). 
0,5 
3 
(1,5 điểm) 
Do      
2 2 2
1 0, 1 0, 1 0x y z      nên    1 1 .VT VP 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1x y z   . 
0,5 
www.VNMATH.com
Thử lại, 1x y z   là nghiệm của hệ. 
a) (1,0 điểm) 
D
I
H
OF
N
M
CB
A
Vẽ hình câu a) đúng, đủ. 
0,25 
Do các điểm M, N, F cùng nhìn đoạn AO dưới góc 090 nên A, O, M, N, F cùng thuộc 
đường tròn đường kính AO. 0,75 
b) (1,0 điểm) 
Ta có AM AN (Tính chất tiếp tuyến). 
Từ câu a) suy ra  ANM AFN (1). 
0,25 
Mặt khác, vì hai tam giác ADH, AFC đồng dạng; hai tam giác ADN, ANC đồng dạng nên 
2. .
AH AN
AH AF AD AC AN
AN AF
    . 
0,25 
Do đó, hai tam giác ANH, AFN đồng dạng (c.g.c)  ANH AFN  (2). 0,25 
Từ (1), (2) ta có  ANH ANM H MN     đpcm. 0,25 
c) (1,0 điểm) 
Từ câu a) ta có . .HM HN HA HF . 0,25 
Gọi I OA MN  ta có I là trung điểm của MN. 
   2 2.HM HN IM IH IM IH IM IH     0,25 
 2 2 2 2 2 2OM OI OH OI R OH      0,25 
4 
(3,0 điểm) 
Từ đó suy ra 2 2. .HA HF R OH  0,25 
a) (1,0 điểm) 
Ta có   *2013 , , , 1
2013
x y m
m n m n
ny z

  

 . 
  2013nx my mz ny    2
0
0
nx my x y m
xz y
mz ny y z n
 
     
 
. 
0,25 
5 
(2,0 điểm) 
      
2 22 2 2 2 22x y z x z xz y x z y x y z x z y              . 0,25 
www.VNMATH.com
Vì 1x y z   và 2 2 2x y z  là số nguyên tố nên 
2 2 2
1
x y z x y z
x y z
     

  
 0,25 
Từ đó suy ra 1x y z   (thỏa mãn). 0,25 
b) (1,0 điểm) 
I
E
D
C
BA
Gọi I EC BD  
Ta có BAE DAES S nên khoảng cách từ B, D đến AE bằng nhau. Do B, D cùng phía đối với 
đường thẳng AE nên / /BD AE . Tương tự / /AB CE 
0,25 
Do đó, ABIE là hình bình hành 1IBE ABES S   0,25 
Đặt  0 1ICDS x x   1IBC BCD ICD ECD ICD IEDS S S x S S S        
Lại có ICD IBC
IDE IBE
S SIC
S IE S
  hay 2
1
3 1 0
1 1
x x
x x
x

    

3 5
2
3 5
2
x
x
 


 


Kết hợp điều kiện ta có 
3 5
2
x

 
5 1
2
IEDS

  
0,25 
Do đó 
5 1 5 5
3
2 2
ABCDE EAB EBI BCD IEDS S S S S
 
       . 0,25 
Lưu ý: 
- Thí sinh làm theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. 
- Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng 
dẫn chấm và được thống nhất trong hội đồng chấm. 
- Điểm toàn bài không làm tròn số ( ví dụ: 0,25, hoặc 0,75 vẫn giữ nguyên ). 
www.VNMATH.com