Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Đà Nẵng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM 2012
	 MÔN THI: TOÁN
	 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)	
Bài 1. (2.0 điểm)
	a) Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x – 1 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện = 2.
	b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 = y1+ 3 và x2 = y2+ 3làm các nghiệm, biết rằng là tập nghiệm của phương trình y2 – 7y + 1 = 0.
Bài 2. (2.5 điểm) 
Giải hệ phương trình 
Giải phương trình
x = . + . + 
Bài 3. (2.0 điểm)
a) Cho x, y, z, t là bốn số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + t2 ≤ 1. Chứng minh rằng 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện + = .
Bài 4. (2.5 điểm)
	Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AB. Biết rằng các cặp đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E và AD, BC cắt nhau tại F. hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB. Hai đường thẳng CH và BD cắt nhau tại N.
Chứng minh rằng: 
Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCE và CDF cắt nhau tại điểm thứ hai là L. Chứng minh rằng Ba điểm E, F, L thẳng hàng.
Bài 5. (1.0 điểm) 
	Cho tam giác ABC không đều, Có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi các điểm I và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu IG và IC vuông góc với nhau thì 6ab = (a + b)(a + b + c).
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 5. (1.0 điểm) 
	Cho tam giác ABC không đều, Có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi các điểm I và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu IG và IC vuông góc với nhau thì 6ab = (a + b)(a + b + c).
- Vẽ đường thẳng GI cắt AC tại E và BC tại F.
- Theo giả thiết GI IC và CI là phân giác nên tam giác CEF cân tại C suy ra CE = CF.
Gọi khoảng cách từ G đến BC và AC lần lượt là m và n; ha , hb lần lượt là độ dài đường cao hạ từ A và B suy ra m = ; n = 
- Ta có SCIF = SCIE = r.CF
=> SCEF = SCIF + SCIE = SCGE + SCGF = CF.m + CE. N = CF(m + n) (vì CE = CF)
=> r.CF = CF( + ) => 6r = (ha + hb) (1)
Mặt khác SABC = r.(a + b + c) = a.ha = b.hb 
=> ha = ; hb = (2)
Từ (1) và (2) suy ra 6r = r.( ) => 6 = (a + b + c)()
=> 6ab = (a + b)(a + b + c)