Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học: 2009 - 2010 môn: Toán

Mã kí hiệu
Đ01T-09-TS10ĐT
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học: 2009- 2010
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút không kể giao đề
(Đề này gồm 5 câu 01 trang)
Bài 1: ( 3 điểm)
1/ Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a/ 3x - 6 = 0
b/ 2x2 + 3x - 5 = 0
c/ 
2/ Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A = - Với x > 0; x 1
b/ B = + 
c/ C = + 
Bài 2: (1,75 điểm)
 Cho các hàm số: y = x2  (p)
 y = 3x + m2 (d)
 (x là biến số, m là tham số)
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (p) tại hai điểm phân biệt.
b/ Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đương thẳng (d) và parabol (p). Tìm m sao cho y1 + y2 = 11y1y2
Bài 3: ( 2,5 điểm)
 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm trên tia đối của tia AB. Từ C kẻ các tiếp tuyến CE, CF tới đường tròn ( E, F là các tiếp điểm), cát tuyến CMN không đi qua O ( M nằm giữa C và N)
a/ Chứng minh tứ giác CEOF nội tiếp được một đường tròn.
b/ CM. CN = CE2
c/ Gọi I là giao điểm của AB và EF. Chứng minh góc MIN = góc MON.
Bài 4: ( 1,75 điểm)
 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn không có nước thì sau 4 giờ thì đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi I chảy được bằng 1 lượng nước của vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể ?
Bài 5: (1điểm)
a/ Chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 + d2 +1 a + b + c + d ( a, b, c, d R)
b/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + x2 + x +1 = y3
-----------------Hết----------------
Mã kí hiệu
HD01T- 09-TS10ĐT
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008- 2009
MÔN: TOÁN
 Bài 1
Nội dung
Điểm
Câu 1
(1,5điểm)
a/ 
3x - 6 = 0
0,5 điểm
 x = 2
KL: Phương trình có nghiệm x = 2
b/ 
2x2 + 3x - 5 = 0
 Có a + b + c = 2 + 3 + (-5) = 0
0,25 điểm
Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = 
Kl: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = 
0,25 điểm
c/ 
0,25 điểm
0,25 điểm
KL: Hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = ()
Câu 2
(1,5điểm)
a/
A = - 
0,25 điểm
 = - 
 = 
0,25 điểm
 = 
Kl: Vậy với x > 0; x 1 thì A = 
b/
B = + 
0,25 điểm
 = 
 = + 
0,25 điểm
 = 3 - + 2- 3 = 
c/
C = 
0,25 điểm
 = 
 = 
0,25 điểm
= 2 - + 2 + = 4
Bài 2: 
(1,75điểm)
a/
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (p) là:
 x2  = 3x + m2 
0,25 điểm
 x2  - 3x - m2 = 0 (*) 
0,25 điểm
Có = 9 + 4m2 > 0 m
Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với m 
0,25 điểm
 với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (p) tại hai điểm phân biệt. 
b/
Theo chứng minh câu a thì thẳng (d) luôn cắt parabol (p) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
0,25 điểm
y1 = 3x1 + m2 ; y2 = 3x2 + m2 
với x1;x2 là hai nghiệm của phương trình (*)
Theo điều kiện đề bài: y1 + y2 = 11y1y2
 3x1 + m2 + 3x2 + m2 = 11(3x1 + m2 )(3x2 + m2) 
0,25 điểm
3(x1+ x2) + 2m2 = 99x1x2 + 33m2(x1 + x2) + 11m4 (1)
Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2 nên theo vi-et ta có : x1 + x2 = 3 ; x1 x2 = - m2 ( 2)
0,25 điểm
Từ (1) và (2) 9 + 2m2 = - 99m2 + 99m2+ 11m4 
11m4 - 2m2 - 9 = 0 (**)
Đặt t = m2 0 
0,25 điểm
(**) 11t2 - 2t - 9 = 0
Giải t1 = 1 (thỏa mãn đk: t 0) ; t2 = (Không thỏa mãn đk: t 0) 
t1 = 1 giải được m = 1
Kl: Với m = 1 thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (p) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn y1 + y2 = 11y1y2 với y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đương thẳng (d) và parabol (p)
Bài 3: 
(2,5 điểm)
Học sinh vẽ hình sai không chấm
a/ 
Cm: CEOF nội tiếp đường tròn
0,75 điểm
b/
Cm: Tam giác CEM đồng dạng với tam giác CNE ( g.g)
0,5 điểm
 CM. CN = CE2
0,25 điểm
c/ 
Cm: CE2 = CI. CO
0,25 điểm
 CE2 = CM. CN
 CM.CN = CI. CO ( = CE2 )
Cm/ Tam giác CMI đồng dạng với tam giác CON ( c.g.c)
0,25 điểm
 góc MIC = góc MNO
0,25 điểm
 Tứ giác MION nội tiếp được một đường tròn 
 góc MIN = góc MON.
0,25 điểm
Bài 4:
(1,75điểm)
Gọi thời gian vòi I chảy một mình để đầy bể là x(giờ)
0,25 điểm
Gọi thời gian vòi II chảy một mình để đầy bể là y(giờ)
Đk: x 4; y 4
Trong 1h lượng nước vòi I chảy được là: phần bể
0,25 điểm
Trong 1h lượng nước vòi II chảy được là: phần bể
0,25 điểm
Trong 1h lượng nước hai vòi cùng chảy được là: phần bể
0,25 điểm
Theo điều kiện đầu ta có phương trình: + = (1)
0,25 điểm
Theo điều kiện sau ta có phương trình: = . (2)
0,25 điểm
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
0,25 điểm
Giải hệ được nghiệm x = 8 ( giờ); y = 12 ( giờ) thỏa mãn điều kiện đề bài:
0,5 điểm
Thời gian vòi I chảy riêng một mình để đầy bể là 8 (giờ)
0,25 điểm
Thời gian vòi II chảy riêng một mình để đầy bể là12 (giờ)
Bài 5
(1 điểm)
a/
 a2 +b2 +c2 + d2 +1 a + b + c + d 
0,25 điểm
 a2 - a + + b2 - b + + c2 - c + + d2 - d + 0
 (a - )2+(b - )2 + (c - )2 + (d - )2 0 (*)
0,25 điểm
 (a - )2 0; (b - )2 0; (c - )2 0 ; (d - )2 0 với a,b,c,d
Suy ra (*) đúng với a,b,c,d vậy BĐT được chứng minh.
b/
Ta có : x2 + x + 1 = ( x + )2 + > 0 
 5x2 + 11x + 7 = 5(x + )2 + > 0 
0,25 điểm
Nên: x3 + x2 + x +1 - (x2 + x + 1) < x3 + x2 + x +1 < x3 + x2 + x +1 + (5x2 + 11x + 7) 
 x3 < y3 < (x + 2)3  đo đó y3 = (x + 1)3 
0,25 điểm
Suy ra (x + 1)3  = x3 + x2 + x +1 
Giải được x = 0 hoặc x = -1
Với x = 0 y = 1; với x = -1 y = 0
Vậy nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là (0;1); (-1;0)
Chú ý: Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Người ra đề
 Trịnh Văn Dũng
Người duyệt đề
 Bùi Văn Chiến
Xác nhận của nhà trường