Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT vòng 2 môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
 HÀ NỘI NĂM HỌC 2023-2024 
 Ngày thi: 2/6/2023 
 Môn: TOÁN CHUYÊN 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu I (2,0 điểm) 
1) Giải phương trình 3 2 7 2 8x x x 
2) Cho a, b và c là các số thưc khác 0 thỏa mãn điều 
kiện 2 2 2 2 2 2, ,a c c c b b b a a . Chứng minh (a−b)(b−c)(c−a)=1. 
Câu II (2,0 điểm) 
1) Cho ba số nguyên a, b và c thỏa mãn 2 2 2 2a b c abc chia hết cho 6 . Chứng 
minh abc chia hết cho 54 
2) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn 2 2x xy y số nguyên tố 
Câu III (2,0 điểm ) Với các số thực không âm a, b và c thỏa mãn a+2b+3c=1, tìm giá 
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 6 6 )( )P a b c a b c 
Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác C có ba góc nh n ( C), n i tiếp đư ng 
tr n (O). a đư ng cao , và C của tam giác C c ng đi qua điểm H. 
Đư ng thả ng cắt đư ng th ng tại điểm Q. G i M và I lần lượt là trung điểm 
của các đoạn th ng C và H. Đư ng th ng IM cắt đư ng th ng tại điểm K. 
1) Chứng minh tam giác K đồng dạng với tam giác M. 
2) Đư ng th ng cắt đư ng th ng C tại điểm S, đư ng th ng SI cắt đư ng th ng 
MQ tại điểm T. Chứng minh bốn điếm , T, H và M c ng thu c m t đư ng tr n. 
3) Tia TH cắt đư ng tr n (O) tại điểm P. Chứng minh ba điểm , K và P là ba điểm 
th ng hàng. 
Câu V (1,0 điểm) Cho 2023 điểm nằm trong m t hình vuông cạnh 1. M t tam giác 
đều được g i là phủ điểm M nếu điểm M nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của 
tam giác. 
1) Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh 
1
2
phủ ít nhất 253 điểm trong 2023 điểm 
đã cho. 
2) Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh 
11
12
 phủ ít nhất 506 điểm trong 2023 điểm đã 
cho.