Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT vòng 2 môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Nam Định

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
 NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2023-2024 
 Ngày thi: 2/6/2023 
 Môn: TOÁN CHUYÊN 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1: (2,0 điểm) 
a) Cho x,y,z là ba số thực khác 0 thỏa măn 
1 2 3
1; 1
2 3
y z
x
x y z
 . Chứng minh 
răng 
2 2
2 1
4 9
y z
x . 
b) Cho 
2
( )
2 1 2 1
f x
n n
với n là số nguyên dương. Tính giá trị của biểu 
thức (1) (2) ... (40)S f f f 
Câu 2: (2,0 điểm) 
a)Giải phương trình 2( 1 1) 2x x x . 
b)Giải hệ phương trình 
2 2
3 3
2
( 4)
x y xy x y
x y y x y x
Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các 
đường cao AD,BE, CF đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung 
điểm đoạn AH, đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P , Q và cắt đường thẳng BC 
tại S sao cho P nằm giữa Svà F . Chứng minh rằng: 
a.Tứ giác AOM N là hình bình hành. b. 2 2 .AP AQ AE AC 
c .Tứ giác DM EF nội tiếp và 
FP QE
PS ES
 · 
Câu 4: (1,5 điểm) 
a) Cho hai số nguyên dương a,b thỏa mãn 3 3,a b b a . Chửng minh 4 4( )a b ab 
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 2 2( ) ( 3)( 1) 0x x y y x . 
Câu 5:(1,5 điểm) 
a) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn 0 , , 4x y z . Chứng minh rẳng: 
2 2 2 2 2 216x y y z z x xy yz zx 
b) Ban đầu trên bảng viết 2023 số thực. Mỗi lần biến đổi số trên bảng là việc thực 
hiện như sau: Chọn ra hai số a và b nào đó ơ trên bảng, xóa hai số đó đi và viểt thèm 
lèn bàng số 
4
a b 
. Giả sử ban đầu trèn bảng ghi 2023 số 1 và ta thực hiện liên tiếp 
các biến đổi cho đến
11
1
2