Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT vòng 2 môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Ninh Bình

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
 NINH BÌNH NĂM HỌC 2023-2024 
 Ngày thi: 2/6/2023 
 Môn: TOÁN CHUYÊN 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1 (2,0 điểm). 
a) Cho a,b là hai số thực dương phân biệt thỏa mãn (1 )(1 ) 2 1a b ab .Tính giá trị của biểu 
thức 
a a b b a b
P
a b a b a b
b) Biết đa thức 
3( ) 23 24f x x x có ba nghiệm phân 
biệt a,b,c. Tính giá trị của biểu thức 
3 3 3Q a b c 
Câu 2 (2,0 điểm). 
a) Giải phương trình ( 23 7)( 6 2) 8x x x 
b) Giải hệ phương trình 
1 1 9
2
3 1 9 1 1
2 4
x y
x y
x x y
y y x
Câu 3(1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=6. Chứng minh 
3 3 3
2
1 1 1
a b c
b c a
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là điểm đối 
xứng của B qua AC và F điểm đối xứng của C qua AB. Đường thẳng BE cắt đường thẳng CF tại H. 
a) Chứng minh các tứ giác AHBF và AHCE là tứ giác nội tiếp. 
b) Đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Chứng minh F, 
B, D thẳng hàng và DA là tia phân giác của góc EDF. 
c) Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE, ACF. Chứng minh sáu điểm B, 
C, D, O, P, Q cùng thuộc một đường tròn tâm I và giao điểm (khác D) của đường thẳng AD với 
đường tròn (I) là trực tâm tam giác APQ. 
 d) Giả sử H thuộc đường tròn (I). Chứng minh các đường thẳng AI, DH, BC, PQ đồng quy. 
Câu 5(1,0 điểm). Cho p là một số nguyên tố. 
a) Chứng minh nếu p lẻ và tồn tại số nguyên x sao cho (
2x +1)⋮p thì (p−1)⋮4. 
b) Chứng minh 2023p+ 23p −24 không là số chính phương. 
Câu 6 (1,0 điểm). Người ta tô màu mỗi điểm trên mặt phẳng bởi một trong hai màu đỏ hoặc xanh. 
Chứng minh 
a) Tồn tại một tam giác vuông cân có ba đỉnh được tô cùng màu. 
b) Tồn tại một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 , một cạnh góc vuông bằng 1 và ba đỉnh được 
tô cùng màu.