Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT vòng 2 môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2023-2024 
 Ngày thi: 2/6/2023 
 Môn: TOÁN CHUYÊN 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1 (1,5 điểm) 
1) Rút gọn biểu thức 
2 1 1 2
0, 1
1 1 1
a a a
A a a
a a a a a a
2) Cho hai đường thẳng 21 2: 2 4, : ( 2) 2d y x d y m x m .Tìm m để hai 
đường thẳng 1 2,d d căt nhau tại 1 điểm trên trục hoành. 
Bài 2 (1,5 điểm) 
1.Cho a nguyên ,biết a chia cho 3 dư 2 ,a chia cho 7 dư 3.Tìm số dư khi chia a cho 21 
2.Tìm x,y nguyên thỏa 2 4 2 1x xy x y 
Bài 3 (2,5 điểm) 
1.Giải phương trình 2 2( 1) 1 1 0x x x 
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m nguyên để phương 
trình 22 2 1 4 1 0x m x m m có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x thoả mãn điều 
kiện 1 2
1 2
x x
x x 
 nguyên 
3. Cho a,b dương thỏa 2024 1011 2023a b .Tìm giá trị nhỏ nhất của 
20 23
1944 988P a b
a b
Bài 4 (3,5 điểm) 
1.Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).Hai tia AB,CD cắt nhau tại E sao cho góc 
AED= 040 , hai tia BC và DA cắt nhau tại F sao cho AFB= 030 .Tính số đo các góc 
trong tứ giác ABCD. 
2.Cho (O) và dây BC cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC 
nhọn.Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Tia phân giác góc BAC cắt (O) tại 
D khác A. 
a.Tam giác BDI cân.Suy ra D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. 
b.Gọi E,P,Q lần lượt các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB.Đường thẳng qua A song 
song BC cắt EP,EQ lần lượt tại M,N.Gọi F đối xứng E qua I.Chứng minh AM=AN 
và F là trực tâm tam giác EMN. 
c.Tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt nhau tại K.Gọi X,Y lần lượt là hình chiếu vuông góc 
K trên AB,CA.Chứng minh XY luôn qua điểm cố định khi a thay đổi. 
Bài 5 (1,0 điểm) Cho số nguyên 6n .Xét 1 đa giác lồi n cạnh 1 2... nA A A .Người ta 
muốn kẻ một số đường chéo của đa giác sao cho các đường chéo này chia đa giác 
thành đúng k lục giác lồi không có điểm trong chung 
a.Với n=2022 và k=505,hãy chỉ ra một cách chia đa giác đó 
b.Với n=2023 và k=505,ta có thể chia đa giác đó được không ? Hãy giải thích. 
Lời giải 
Bài 1 (1,5 điểm) 
1) Rút gọn biểu thức 
2 1 1 2
0, 1
1 1 1
a a a
A a a
a a a a a a
2) Cho hai đường thẳng 21 2: 2 4, : ( 2) 2d y x d y m x m .Tìm m để hai 
đường thẳng 1 2,d d căt nhau tại 1 điểm trên trục hoành. 
Lời giải 
1) Ta có 
2 1 1 2 1
11 1 1
a a a a
A
aa a a a a a
2) Ta có 1d cắt trục hoành thì 0=2x+4 nên x=-2.Lúc đó 1d qua M(-2;0).Ta có 1d giao 
 2d tại M nên
2
2
0 ( 2).( 2) 2 3
2
m
m m
m
Bài 2 (1,5 điểm) 
1.Cho a nguyên ,biết a chia cho 3 dư 2 ,a chia cho 7 dư 3.Tìm số dư khi chia a cho 21 
2.Tìm x,y nguyên thỏa 2 4 2 1x xy x y 
Lời giải 
1.Cho a nguyên ,biết a chia cho 3 dư 2 ,a chia cho 7 dư 3.Tìm số dư khi chia a cho 21 
Ta đặt 3 2, 7 3, ,a k a m k m .Xét 2a+8=3(2k+4) chia hết cho 3 và 
2a+8=7(m+1) chia hết cho 7.Ta có (3;7)=1 nên 2a+8 chia hết cho 21 hay a chia 21 dư 
17. 
2.Ta có 2 24 2 1 ( 2) 4 1x xy x y y x x x (1).Ta xét x=-2 thì 0=-1 (vô lý). 
Ta xét x khác -2 thì 
2
2 4 1 5( 2) 4 1 2
2 2
x x
y x x x y x
x x
.Để y nguyên 
thì 
5
2x 
 nguyên.Xét tất cả trường hợp ta có nghiệm (3;4);(-7;4);(-1;4);(-3;4) 
Bài 3 (2,5 điểm) 
1.Giải phương trình 2 2( 1) 1 1 0x x x 
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m nguyên để phương 
trình 22 2 1 4 1 0x m x m m có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x thoả mãn điều 
kiện 1 2
1 2
x x
x x 
 nguyên 
3. Cho a,b dương thỏa 2024 1011 2023a b .Tìm giá trị nhỏ nhất của 
20 23
1944 988P a b
a b
Lời giải 
1.Ta có 2 21,( 1) 1 1 0 ( 2 1)( 1) 0 2x x x x x x x x x 
2. Để phương trình 22 2 1 4 1 0x m x m m có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x 
thì ' 0 1m .Ta có mãn điều 
kiện 2
1 2 1 2
2( 1) 0 1, 4 1x x m m x x m m .Ta có 
2
1 2
1 2
4 1 4
3
2 2 1
x x m m
m
x x m m
nguyên thì 
4
1m 
nguyên.Xét tất cả trường hợp ta có 
m=1 và m=-3. 
3.Ta có 
20 23 20 23 1
1944 988 80 23 2024 1011 1987 , 1
2
P a b a b a b a b
a b a b
Bài 4 (3,5 điểm) 
1.Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).Hai tia AB,CD cắt nhau tại E sao cho góc 
AED= 040 , hai tia BC và DA cắt nhau tại F sao cho AFB= 030 .Tính số đo các góc 
trong tứ giác ABCD. 
2.Cho (O) và dây BC cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC 
nhọn.Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Tia phân giác góc BAC cắt (O) tại 
D khác A. 
a.Tam giác BDI cân.Suy ra D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. 
b.Gọi E,P,Q lần lượt các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB.Đường thẳng qua A song 
song BC cắt EP,EQ lần lượt tại M,N.Gọi F đối xứng E qua I.Chứng minh AM=AN 
và F là trực tâm tam giác EMN. 
c.Tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt nhau tại K.Gọi X,Y lần lượt là hình chiếu vuông góc 
K trên AB,CA.Chứng minh XY luôn qua điểm cố định khi a thay đổi. 
Lời giải 
F
E
D
O
B
A
C
1.Ta có 4 góc trong tam giác là góc A,B,C,D.Vì ABCD nội tiếp nên 
180 , 180(1), ,A C B D FDC B DCF A  
0:180 150 (2)DFC FDC DCF A BDCF  .Tương tự ta có 
,CBE D BCE A 0140 (3)A D .Từ (1);(2) và (3) suy 
ra
0 0 0 0 0 0( ) 10 , 180 85 95 55 125A B A D B D D B A C 
2a.Gọi S là 1 điểm trên tia đối IB.Suy ra tam giác ABI có : 
,
2
S ,
2
AI
B A
IBA BAI SIA SIA BID .Ta có 
2 2 2
A A B
DAC DBC IBD IBC BDC IBD BID hay tam giác BID cân tại 
D,mà AD phân giác góc BAC,D thuộc (O)suy ra BD=CD=DI.Lúc đó D là tâm đường 
tròn ngoại tiếp tam giác IBC. 
b.Ta có MN//BC suy ra gócMNE=gócBEN=gócBEQ.Ta có 
gócBEQ=gócBQE,gócBQE=gócAQN suy ra gócAQN=gócMEN=gócANQ hay tam 
giác AQN cân tại A.Lúc đó AQ=AN.Tương tự AM=AP.Mà AP,AQ là tiếp tuyến nên 
AQ=AP.Nên suy ra AM=AN 
c.Ta có O thuộc trung trực BC.Goi OK và BC giao điểm là G.Vì OK trung trực BC 
nên G là trung điểm BC và GK vuông góc BC.Ta có 0180CGK CYK CGKY nội 
tiếp .Suy ra 0 0180 (180 )GKY GCY GKY BCA GKY 
Ta có gọi T là điểm trên tia đối BK.Suy ra 
0, , 180TBA BCA TBA XBK GKY XBK BXK BGK BGKX nội tiếp.Lúc đó 
XBK XGK XGK GKY .Nên XG//KY.Tương tựGY//XK nên XGYK là hình bình 
hành.Nên XY đi qua trung điểm GK,BC cố định ,(O) cố định nên G cố định,K cố 
định nên trung điểm GK cố định. 
Bài 5 (1,0 điểm) Cho số nguyên 6n .Xét 1 đa giác lồi n cạnh 1 2... nA A A .Người ta 
muốn kẻ một số đường chéo của đa giác sao cho các đường chéo này chia đa giác 
thành đúng k lục giác lồi không có điểm trong chung 
a.Với n=2022 và k=505,hãy chỉ ra một cách chia đa giác đó 
b.Với n=2023 và k=505,ta có thể chia đa giác đó được không ? Hãy giải thích. 
Lời giải 
a.Ta đánh các số theo chiều kim đông hồ 1,2,3...,2022.Nối các đỉnh sau 1-6 có lục 
giác 1,2,3,4,5,6.Nối 1-14 có lục giác 1,6,7,8,9,10.Nối 1-14 ta có lục giác 
1,10,11,12,13,14.Nối 1-18,1-22,1-26,...,1-2022 ta có 505 lục giác thỏa yêu cầu vì 
2022 6
1 505
4
b)Với n=2023 ta không thể chia được vì :giả sử có thể chia được .Gọi a là số giao 
điểm của các đường chéo nằm trong đa giác .Mỗi đỉnh của lục giác là đỉnh của đa 
giác hoặc 1 trong a điểm trên.Suy ra tổng số góc của các lục giác 
là 0 0 0 0 0360 . 2023.180 360 360 . 363780a a .Tổng số góc ở đỉnh của 505 lục giác là 
0 0 0505.(6.180 360 ) 363600 .Ta có
0
0 0 0
0
180 1
360 . 363780 363600
360 2
a a
 (vô 
lý).