Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Yên Bái năm học 2013 – 2014 môn Toán

Đề thi tuyển sinh THPT Tỉnh Yên Bái năm học 2013-2014
Câu
Gợi ý cách làm
Câu 1. (1,5 đ)
1.Không sử dụng máy tính. Tính: 
Giải: 
2. Rút gọn biểu thức (với , ). 
Giải: 
Câu 2. (1,0 đ) 
1.Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ Oxy.
Giải:
- Giao của đồ thị hàm số với trục Ox tại điểm (2; 0)
- Giao của đồ thị hàm số với trục Oy tại điểm (0; -2)
- Vẽ đúng đồ thị hàm số
2.Tìm a, b để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và song song với đồ thị hàm số .
Giải:
- Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0
- Đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số nên ta có a = 1
Vậy a =1, b = 0 là giá trị cần tìm
Câu 3: (3,0 đ)
1.a) Giải pt: 
Giải: Có a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0 Þ 
(h/s có thể dùng công thức nghiệm để giải)
1.b) Giải hệ pt: 
Giải: 
Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 3)
2. Cho phương trình (1) (với m là tham số)
2.a) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Giải: - Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 
2.b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệtsao cho .
Giải: Ta có: ∆’=
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆’>0m >1 (*)
Với m >1. Áp dụng định lí Vi-et ta có:
Theo giả thiết 
 (thỏa mãn điều kiện (*)). 
Vậy là giá trị cần tìm
Câu 4. (3,5 đ)
Cho đường tròn (O), M là điểm ở bên ngoài đường tròn, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm), MO cắt AB tại H.
1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp được trong một đường tròn.
Chứng minh: Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) Þ 
Tứ giác MAOB có 
 tứ giác MAOB nội tiếp
2.Chứng minh: MA.AH = AO.MH.
Chứng minh: Ta có MA=MB, OA=OB MO là trung trực của AB 
DAMO vuông tại A nên (1); DHMA vuông tại H nên (2). Từ (1), (2) ta có 
 đồng dạng (, )
3.Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và MB, N là giao điểm của IK và MA. Chứng minh: và .
 *Chứng minh KB = AN: 
 Ta có HK là đường trung bình của DBAM nên HK // MN
Dễ thấy . Suy ra IK=IN, HK=AN
Mặt khác (trung tuyến của DHMB vuông)AN = KB
*Chứng minh góc ONK bằng góc OBA:
 ( )
 OK = ON DOKN cân tại O, I là trung điểm của NK. 
Tam giác OAB cân tại O nên (3)
Tứ giác OIAN có đỉnh I, A cùng nhìn ON dưới góc 900 nên OIAN là tứ giác nội tiếp(4) (góc nội tiếp cùng chắn )
Từ (3), (4) ta được 
Câu 5. (1,0 đ)
Chứng minh rằng: Nếu có ba số thực x, y, z thỏa mãn: thì ít nhất một trong ba số x, y, z phải bằng 2013
Giải: ĐK: Ta có
 Û (x2y+xyz+xy2+x2z) + (y2z+xyz+yz2+z2x) = 0
 Û x(xy+yz+y2+xz) + z(y2+xy+yz+zx) = 0
 Û (xy+yz+y2+xz) (x + z)= 0 
 Û [y(x+y) + z(x + y)](x + z)= 0
Từ đó suy ra :
- Nếu x + y = 0 thì z = 2013
- Nếu y + z = 0 thì x = 2013
- Nếu z + x = 0 thì y = 2013
Vậy ít nhất một trong ba số x, y, z phải bằng 2013