Đề thi và đáp án chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán – lớp 9

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28 tháng 3 năm 2014
Câu 1. (4 điểm) Cho biểu thức 
1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị của x để .
Câu 2. (4 điểm) Cho phương trình (1), x là ẩn số, m là tham số.
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để .
Câu 3. (4 điểm)
1. Giải hệ phương trình 
 2. Cho các số thực m, n, p thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 4. (5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Gọi Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 600 và nằm về hai phía của đường thẳng AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.
1. Chứng minh rằng .
2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.
3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất.
Câu 5. (3 điểm) 
1. Cho 2014 số nguyên dương không lớn hơn 2014 và có tổng bằng 4028. Chứng minh rằng từ 2014 số đó luôn chọn được các số mà tổng của chúng bằng 2014.
2. Cho tam giác ABC có các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi giao điểm của AE với BF và CD lần lượt là Q, R, giao điểm của CD và BF là P. Biết diện tích bốn tam giác ADR, BEQ, CFP, PQR cùng bằng 1. Chứng minh các tứ giác AFPR, BDRQ, CEQP có diện tích bằng nhau.
-------------HẾT-------------
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................