Đề thi và đáp án chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2013-2014 môn Toán (Đồng Nai)

SỞ GD-ĐT ĐỒNG NAI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014
Câu 1 :Tìm các số thực x thỏa mãn: x4 + 2x3 +x2 +2x+1 = 0
Ta thấy x=0 không thỏa pt. Chia hai vế pt cho x2.
Câu 2 :Giải hệ phương trình : 
Câu 3 : Cho m,n là hai số nguyên dương lẻ thỏa: 
1) Hãy tìm một cặp gồm 2 số nguyên dương lẻ (m;n) thỏa các điều kiên đã cho với m>1,n>1
2) Chứng minh (m2+n2+2)⋮4mn
1/(m;n) = (3;11)
2)Từ (1)&(2)à(m2 + 2)(n2 + 2)mnàm2n2 + 2m2 +2n2 +4mnà2m2 +2n2 +4mn
à2(m2 +n2 +2)mn . Vì m,n lẻ à m2 +n2 +2mn (3)
Mặt khác m2 , n2 là 2 số chính phương lẻ àm2 = 4a + 1; n2 = 4b + 1 (a,b)
à m2 +n2 +2 = 4(a + b) +44 (4)
Vì m,n lẻ nên mn lẻ à (mn , 4)=1
Từ (3)&(4) à m2 +n2 +24mn
Câu 4 : 1) Tính số các ước dương của 1000 2) Tính số các ước dương chẵn của 1000
Ta có : 1000 = 23.53 .
Số ước dương của 1000 là 4.4 = 16
Số ước lẻ của 1000 là số ước của 53 à Số ước lẻ của 1000 là 4
à Số ước chẵn của 1000 là 16 – 4 = 12
Câu 5 : Cho tam giác ABC có ba góc  đều là góc nhọn. Gọi (O) là đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với 2 cạnh AB;AC lần lượt tại D;E. Gọi M là giao điểm của 2 đường thẳng OB và DE, gọi N là giao điểm của 2 đường thẳng OC và DE. Chứng minh bốn điểm B;C;M;N cùng thuộc 1 đường tròn
Ta có :
àTứ giác BDNO nội tiếp à ( Cùng chắn cung OB) à 
Chứng minh tương tự , ta cũng có 
Tứ giác BNMC có N,M cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên nội tiếp đường tròn
Hay bốn điểm B;C;M;N cùng thuộc 1 đường tròn