Đề thi và đáp án chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh lớp 9 năm học 2005-2006 môn: Toán (bảng A)

sở giáo dục và đào tạo 
quảng ninh
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 9 năm học 2005-2006
đề thi chính thức
môn : Toán 
(bảng A)
Số BD: ..................
Thời gian làm bài : 150 phút
Chữ ký giám thị 1
(không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 21/3/2006
Bài 1. 
Rút gọn các biểu thức sau : 
a)A =++ ..... ++
b) B = x3 - 3x + 2000 với x = + 
Bài 2. 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba đường thẳng có phương trình :
(d1) : x - 5y + k = 0 ; (d2) : (2k - 3)x + k(y - 1) = 0 ; (d3) : (k + 1)x - y + 1 = 0
Tìm các giá trị của tham số k để ba đường thẳng đó đồng quy. 
Bài 3.
Giải hệ phương trình : 
Bài 4. 
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên cung nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD. Dây AM cắt dây BC tại E, dây AN cắt dây CD tại F. 
1) Chứng minh rằng ta luôn có : 
- Góc AEB = góc AEF.
- Đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2) Đặt góc MAB = a, tính diện tích tam giác AEF theo R và a. 
Bài 5. 
Chứng minh rằng: + ³ 80 với "a ³ 3, "b ³ 3. 
Dấu bằng xảy ra khi nào ? 
------------------------ Hết -------------------------
hướng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh 
môn toán lớp 9 - bảng a. năm học 2005-2006.
Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm
Bài 1.a
1,5 điểm
áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a=, b=
và biến đổi => x3 = 6 + 3x
Suy ra A = 2006 
1,25 đ
0,25
Bài 1.b
2,5 điểm
Có A = +++...++ 
Rút gọn, được A = .
1,0 đ
1,5 đ
Bài 2
3 điểm
Chứng minh được (d2) luôn cắt (d1) tại điểm M0(0 ; 1)
Khi đó M0(0 ; 1) ẻ (d3) k = 5
1,5 đ
1,0 đ
Vậy ba đường thẳng đồng qui k = 5
0,5 đ
Bài 3
4 điểm
Điều kiện của ẩn : x, y, z ³ 1/4.
Nhân vế-vế cả ba phương trình với 2 rồi cộng lại, ta được phương trình:
4x + 4y + 4z = 2 + 2 + 2 (*)
Biến đổi (*) (-1)2 + (-1)2 + (-1)2 = 0
 = = = 1 x = y = z = 1/2 thỏa mãn đ/kiện. 
0,5 đ
1,5 đ
1,5 đ
Thử lại, thấy x = y = z = 1/2 thỏa mãn hệ.
Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (x ; y ; z) = (1/2 ; 1/2 ; 1/2). 
0,5 đ
Bài 4
4. 1)
4 điểm
Trước hết từ giả thiết suy ra éMAN = 450. 
Gọi DB, cắt AN, AM tại P, Q. Chứng minh được: ABEP và ADFQ là các tứ giác nội tiếp
=> éEPF = éEQF = 900 => tứ giác PQEF nội tiếp.
Từ đó ch/minh được éAEB = éAPB = éAEE => éAEB = éAEF. 
0,5 đ
1,0 đ
0.75 đ
0,75 đ
Kẻ AH ^ EF (HẻEF). Chứng minh được DAEH = DAEB => AH=AB
Suy ra EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định là (A;a) với a =AB=R.
0,5 đ
0,5 đ
4. 2)
2 điểm
Dể chứng minh được SAEF = SAEH + SAFH = SAEB + SAFD
Tính được SAEB = (1/2).AB.EB = (1/2).R. R.tga = R2. tga
và SAFD = ... = R2. tg(450-a)
Suy ra SAEF = R2.(tga + tg(450-a)) 
Chú ý: Có thể tính theo cách khác:
* SAEF = (1/2).AF.EP = ... = SAEF = (R2/.cosa.cos(450-a)) 
* Hoặc SAEF=(1/2).AH.EF=(1/2).AB.EF = R2.
đều là đáp số đúng và cũng cho điểm tối đa.
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm
Bài 5
3 điểm
Ta có: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 ³ 2 + (62.3/3) = 64 (1) "a³ 3 
Dấu bằng xảy ra (3/a) = a/3 và a = 3 a = 3. 
0,75 đ
0,5 đ
Lại có: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 ³ 2 + (2.3/3) = 16 (2) "b³ 3. Dấu bằng xảy ra (21/b) = 7b/3 và b = 3 b = 3. 
0,75 đ
0,5 đ
Từ (1) và (2) suy ra BĐT cần chứng minh !
Dấu bằng xảy ra a = b = 3.
0,25 đ
0,25 đ
Cách giải khác: 
Trước hết chứng minh BĐT: (21/b) + (3b) ³ 16 (*) với " b ³ 3.
Với b ³ 3 thì (*) 3b2 - 16b + 21 ³ 0 (b - 3)(3b - 7) ³ 0.
Do b ³ 3 nên (b - 3) ³ 0 và (3b - 7) ³ 3.3 - 7 = 2 => (b - 3)(3b - 7) ³ 0.
Dấu bằng xảy ra b = 3 .
Tương tự, chứng minh được: 21a + (3/a) ³ 64 với " a ³ 3.
( (a-3)(21a-1) ³ 0). Dấu bằng xảy ra a = 3. 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Hình vẽ bài 4:
Các chú ý khi chấm:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3. Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhưng phải thống nhất trong cả tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn.
Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh.