Đề thi và đáp án chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh lớp 9 năm học 2006-2007 môn: Toán (bảng A)

sở giáo dục và đào tạo 
quảng ninh
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 9 năm học 2006-2007
 đề thi chính thức
môn : Toán 
Số báo danh:
(bảng A)
...............................
Thời gian làm bài : 150 phút
Chữ ký giám thị 1:
(không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 27/3/2007.
Bài 1. 
Rút gọn biểu thức A = 
Bài 2. 
Chứng minh rằng với x > 0, x 1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 
.
Bài 3. 
Giải phương trình: (2x + 1)2(x + 1)x = 105 
Bài 4. 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d1) : y = 3x – m – 1 và (d2) : y = 2x + m - 1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của (d1) và (d2) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. 
Bài 5. 
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D khác A và B. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E khác C. Cạnh BC cắt DE tại I. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI tại điểm thứ hai K. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ADE đi qua điểm K.
Bài 6. 
Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn, H là trực tâm tam giác. Dựng đường tròn tâm O đường kính BC, qua A kẻ các tiếp tuyến AP, AQ với đường tròn (P, Q là các tiếp điểm). Chứng minh: P, H, Q thẳng hàng . 
Bài 7. 
Cho a, b ≥ 0 thoả mãn : . Chứng minh rằng: ab(a + b)2 ≤ . 
Dấu bằng xảy ra khi nào ? 
------------------------ Hết -------------------------
hướng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh 
môn toán lớp 9 - bảng a. năm học 2006-2007.
Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm
Bài 1
3 điểm
Rút gọn được: =2+1 ; =+1 
=> = = 5 + 3
1,5 đ
1,5 đ
Bài 2
3 điểm
Với x > 0, x 1, rút gọn được:= .
và = 
Suy ra : = - 2 (đpcm !)
1,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài 3
3 điểm
Biến đổi ph/tr (1): (2x + 1)2(x + 1)x = 105 thành (4x2+4x+1)(x2+x) = 105
Đặt x2+x = t, từ (1) => (4t+1)t = 105 4t2 + t – 105 = 0 (2)
Giải (2) được t = 5 và t = -21/4.
Với t = 5, tìm được x1,2 = (-1)/2; Với t = -21/4, vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x1,2 = (-1)/2 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài 4
3 điểm
Tìm được (d1) cắt (d2) tại M(2m ; 5m-1) với mọi m. 
Suy ra quan hệ : ym = 5xm/2 – 1 với mọi m
Do đó khi m thay đổi, giao điểm M của (d1) và (d2) luôn nằm trên đường thẳng cố định (d) : y = (5/2)x - 1. 
1,0 đ
1,0 đ
1,0 đ
Bài 5
3 điểm
Trớc hết ch/m được BKI +BDI =BKC +BAC => BKID nội tiếp.
Chứng minh được: DKE = DKI + IKE = DBC + BCA
=> DKE+DAC = DBC+BCA+DAC = 1800=> ADKE nội tiếp.
Suy ra đường tròn (ADE) đi qua K (đpcm !).
1,0 đ
0,5 đ
1,25 đ
0,25 đ
Bài 6
3 điểm
Gọi I = AOxPQ; D = ACx(O). Do AP, AQ là các tiếp tuyến nên PQAO
Chứng minh được AI.AO = AQ2 = AD.AC = AH.AK
=> tứ giác HIOK nội tiếp. Suy ra IH AO.
Từ đó suy ra P, H, Q thẳng hàng (đpcm !)
0,5 đ
1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài 7
2 điểm
Do giả thiết a, b ≥ 0; nên: ab(a + b)2 ≤ú 64.ab(a + b)2 ≤ 1
ú 64ab(a + b)2 ≤ ú 64ab(a + b)2 ≤ (a+b+2)4.
áp dụng BĐT Côsi, được: (a+b+2) 2 
=> (a+b+2)4 (2)4 = 64.ab(a+b)2. (đpcm !)
Dấu = có ú a+b = 2ú a = b = 1/4. 
1,0 đ
0,75 đ
0,25 đ
Các chú ý khi chấm:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3. Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhưng phải thống nhất trong cả tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn.
Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh.