Đề thi và đáp án chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh lớp 9 năm học 2007-2008 môn: Toán (bảng A)

sở giáo dục và đào tạo 
quảng ninh
--------ả---------
kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 9 năm học 2007-2008
Đề thi chính thức
môn : Toán
( bảng A )
Họ và tên, chữ ký của giám thị số 1:
Ngày thi : 28/3/2008
...
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
...
 (Đề thi này có 01 trang)
Bài 1. 
Rút gọn biểu thức M = với x ẻ , x < - 3.
Bài 2. 
Giải phương trình: 
Bài 3. 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng (dm) xác định bởi phương trình: (m-1)x + (m+1)y = với m là tham số. Tính khoảng cách từ điểm gốc toạ độ O đến đường thẳng (dm). 
Bài 4. 
Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định (BC < 2R). Điểm A di chuyển trên cung lớn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao BD và CE của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H.
1. Chứng minh: CH.CE + BH.BD = BC2.
2. Chứng minh rằng đường thẳng qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. 
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện :
x + y + z > 11 và 8x + 9y + 10z = 100
Bài 6. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 với x ẻ . 
------------------------ Hết -------------------------
Họ và tên thí sinh .... SBD 
hướng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh 
môn toán lớp 9 - bảng a. năm học 2007-2008.
Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm
Bài 1
3,5 điểm
Với x < -3, có: x+3 + 2 = . + 2. . 
= .( + 2) 
và 6-2x + =  = .(2+) 
Từ đó suy ra M = / hay M = 
1,0 đ
0,5 đ
1,0 đ
1,0 đ
Bài 2
3,5 điểm
Đặt = a, = b, ta có hệ: a - b = 1; a3 - 2b3 = 1.
Giải hệ trên, tìm được b = 0, a = 1
Từ đó tìm được nghiệm x =1. Vậy phương trình có duy nhất nghiệm x =1 
Chú ý: HS có thể giải bẳng cách lập phương 2 vế, nhưng khi biến đổi ph/tr sẽ có phép biến đổi không tương đương nên nếu thí sinh không thử lại trước khi kết luận về nghiệm của ph/tr đã cho thì trừ 1,5 điểm. 
1,0 đ
2,0 đ
0,5 đ
1,25 đ
0,5 đ
Bài 3
3 điểm
* Với m = 1, (dm) có ph/trình y = 1 => là đường thẳng // với Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ y = 1 => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = 1
* Với m = -1, (dm) có ph/trình x = -1 => là đường thẳng // với Oy, cắt Ox tại điểm có hoành độ độ x = -1 => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = 1
* Với m ạ ±1, tìm được (dm) cắt Ox tại điểm A(/(m-1); 0) và cắt Oy tại điểm B(0; (/(m+1)). 
Trong DOAB vuông tại O, kẻ đường cao OH, có OA=ờ/(m-1) ờ, 
OB = ờ/(m-1) ờ,
d(O; dm) = OH = OA.OB/AB = OA.OB/ 
từ đó tính được OH = 1 với mọi m ạ ±1. 
Vậy OH = 1 với mọi m. 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
Bài 4.1
2,5 điểm
Gọi K là giao của AH với BC, suy ra AK ^ BC và K ở giữa B và C.
Chứng minh được: CH.CE = CK.CB; BH.BD = BK.BC
Suuy ra: CH.CE + BH.BD = CK.CB + BK.BC = BC(CK + BK) = BC2. 
0,5 đ
1,5 đ
0,5 đ
Bài 4.2
2,5 điểm
Kẻ Ax là tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại A.
Có ABC = EDA; ABC = CAx 
=> EDA = CAx => Ax // ED
do đó đường thẳng At qua A và vuông góc với DE phải vuông góc với Ax
suy ra At đi qua tâm O của đường tròn (O; R) là điểm cố định (đpcm !) 
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm
Bài 5
2 điểm
 Có: 8x+8y+8z x+y+z < 100/8 < 13 
cùng với giả thiết, có 11 x+y+z = 12
Ta có hệ: x+y+z = 12 (1); 8x+9y+10z = 100 (2). 
Nhân 2 vế của (1) với 8 rồi trừ vế-vế của (2) cho (1), được: y+2z = 4 (3)
Từ (3) suy ra z = 1 (vì nếu z ≥ 2 thì do y ≥ 1 => y+2z ≥ 4, mâu thuẫn)
Với z = 1, tìm được y = 2 và x = 9. 
Thử lại, thấy đúng. Vậy có duy nhất bộ x = 9, y = 2 và z = 1 thoả mãn. 
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Bài 6
2 điểm
Biến đổi được F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 = (x2 - x + 1)2 +1
 = ((x-(1/2))2 + 3/4)2 + 1 với x ẻ . 
Do (x-(1/2))2 0 với "xẻ =>F(x) =((x-(1/2))2 +3/4)225/16 với"xẻ 
F(x) = 9/16 khi x = 1/2
Vậy F(x) nhỏ nhất = 25/16. 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
Các chú ý khi chấm:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 đ và phải thống nhất trong cả tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn.
Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh.
Hình vẽ bài 4: