Đề thi và đáp án học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Đề 17

Câu
đáp án
điểm từng ý
điểm toàn câu
Câu1:
a) A = + 
 = + 
 = + 
với x = 5 suy ra : A = + = 2
b)A= + = 2
dấu "="xảy ra 1-x-1
0,5
0,5
1
1,0
1,0
4
Câu2:
P(x) =- 6x4 + 11x3 + 3x2 – 11x + 3
 = (x - 1)(-6x3 + 5x2 + 8x - 3)
 = (x - 1)(x + 1)(-6x2 + 11x - 3)
 = (x –1)(x + 1)(2x - 3)(1-3x)
0,75
0,75
0,5
2
Câu 3
Lấy (1) trừ (2) ta được (a2 – b2)x + (a - b)y = 0
 (a + b)x + y = 0 (4) (vì a b)
Tương tự lấy (2) trừ (3) ta được :
 (b+ c)x + y = 0 (5) (vì c b)
Từ (4) và (5) với a c ta đựơc x = y = 0 , suy ra : z = 2
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0,0,2)
0,5
0,25
0,5
0,75
2
câu 4
Đặt u = (u0)
 ta được pt: 4u2 + 3u - 7 = 0 
	u=1 hoặc u=-(loại)
suy ra : x2 + 7x + 7 = 1 x=-1 hoặc x= -6
0,25
o,25
0,5
1
2
câu 5
Ta có : MA2 = x2 + (y - a)2 
 Khoảng cách từ M tới d bằng 
 Khoảng cách từ M tới d bằng MA
 x2 + (y - a)2 = (y + a)2 
 y = x2 (vì a0)
vậy tập hợp các điểm M là parabol y = x2 
0,25
0,25
0,25
0.5
0,25
2
câu6
Ta có: = (2004 + ) 
= 
 (BĐT Bunhiacopxki)
 = = 2005
 (BDT Cauchy)
Suy ra: GTNN bằng - 2005 đạt được khi x= - 2005
 GTLN bằng 2005 đạt được khi x= 2005
0,75
0,75
0,5
2
câu7
Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC . ta có:
 IE = AB = MF
 EM = AC = FK
 nên IAM =MHK (c.g.c) suy ra MI = MK
Ta sẽ chứng minh . Đặt = 
Ta có : = , = 
 nên = 1800 - 2 (1)
 Xét tam giác IEM có = 2 nên 1800 - 2 = 
 ta lại có (so le trong,AB song song với MF)
(do IAM =MHK ) nên 
1800 - 2 = (2)
Từ (1),(2)suy ra . do đó I,H,M,K thuộc cùng đường tròn
0,25
0,5
0,5
0.5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
4
câu8
Ta có : MA + MC’ AC’
 MB + MD’ BD’
 MC + MA’ CA’
 MD + MB’ DB’ 
Suy ra : MA + MB+ MC + MD+ MA’ + MB’+ MC’ +MD’4a 
 (với a là độ dài đường chéo của hình chữ nhật)
Ta có: MA2 + MB2+ MC2 + MD2 + MA'2 + MB'2 + MC'2 + MD'2 (MA + MB+ MC + MD+ MA’ + MB’+ MC’ +MD’)2a2
 như vậy GTNN của
MA2 + MB2+ MC2 + MD2 + MA'2 + MB'2 + MC'2 + MD'2 
là a2 đạt được khi M là tâm của hình hộp 
0,5
0,5
0,5
0,5
2