Đề thi và đáp án học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán (Trường THCS Triệu Duy)

Phòng GD huyện thiệu hoá 	Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
 Trường THCS thiệu Duy Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
Thời gian : 150/
I . Phần trắc nghiệm (7 điểm )
Hãy chọn kết quả đúng trong các câu sau :
Câu1 : (0,5 điểm) Kết quả của phép tính : - là :
A . 	B . 	C . 	D . 
Câu2 (1,0 điểm) Giá trị của biểu thức : A = 3 + và 
 B =là 
A . 4 và -1 	B . -3 và 3 	C. 12 và 1 	D . 3 và 1
Câu 3 : (1,0 điểm ) Đa thức dư của phép chia đa thức :
P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x 81 cho đa thức : Q(x) = x2 – 1 là :
A . R(x) = 5x 	 B . R(x) = - 5x 	 	C . R(x) = 5x +1	 	D . R(x) = 5x – 1
Câu 4 ( 1,0 điểm ) . Để đa thức : P(x) = x4 + x3 – x2 + a x + b chia hết cho đa thức 
 Q (x) = x2 + x – 2 thì : 
A . a = 1 và b = 2 	 B. a= - 1 và b = - 2
C . a = 1 và b = - 2 	 D . a = 1 và b = 3 
Câu 5 (1,0 điểm ) Kết quả phân tích : 2 64 – 1 thành nhân tử là :
 A . 	(2 + 1) (2 + 2) (22 + 1) (24 + 1)(216 +1)(232 +1)
 B .	 (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28+ 1) (216 +1)(232 +1)
 C .	 (2 - 1) (22 - 1) (24 - 1)(216 -1)(232 - 1)
 D 	.(2 + 1) (24 + 1) ( 28- 1) (216 +1)(232 +1)
Câu 6 (0,5 điểm ) Cho đường thẳng (d) xác định bởi y = 2x + 11 . Đường thẳng (d/) đối xứng với đường thẳng (d) qua trục hoành là :
A . y = -2x + 11 	B . y= 2x -11
C . y= -2x – 11 	 D . Một đáp án khác 
Câu 7 (0,5 điểm ) Cho đường thẳng (d) xác định bởi y = 2x + 1 . Đường thẳng (d/) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng y= x là :
A . y = x + 2 	B. y = x – 2
 C . . y = x – 2 	D . y= - 2x – 4
Câu 8 (0,5 điểm ) Cho x , y Z thoã mãn : 2x2 + + = 4 . Tích xy nhỏ nhất khi :
A . x = 1 và y = - 2 	 B . x = - 2 và y = 1 
 C. x =1 và y = - 2 hoặc x = -1 và y = 2 	 D. x = 1 và y = 2
Câu 9 (0,5 điểm )Cho một hình vuông và một hình thoi có cùng chu vi khi đó : 
A . Diện tích hình thoi nhỏ hơn diện tích hình vuông .
B . .Diện tích hình thoi lớn hơn diện tích hình vuông.
C . .Diện tích hình thoi bằng diện tích hình vuông .
D Diện tích hình thoi nhỏ hơn hoặc bằng diện tích hình vuông .
Câu 10: (0,5 điểm) 
 Cho : ( I ) Sin 2 30 0 + cos 2 30 0 = 1	( II ) tg 280 = 
(I ) Đúng, (II ) Đúng
(I ) Sai , (II ) Sai
(I ) đúng, (II ) Sai
(I ) Sai , (II ) Đúng
II. Tự luận : (13 điểm)
Câu1: ( 3 điểm ) Cho A = 
Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
Rút gọn A.
Tìm x để A < 
Câu 2: (3 điểm )
a. Chứng minh rằng nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì ( p - 1) ( p + 1 ) chia hết cho 24.
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
xy – 2x -3y + 1 = 0
Câu 3: ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn; vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh : tgB . tgC = 
Chứng tỏ rằng : HG // BC tgB . tgC = 3
Câu 4: ( 3 điểm )
a) (1,5 điểm )Cho x > 0; y > 0 và x + y = 1
Chứng minh :
b) ( 1,5điểm) Giải phương trình .
Đáp án
I . Phần trắc nghiệm: (7 điểm)
Câu
Đáp án
Điểm
1
C
0,5 điểm
2
D
1,0 điểm
3
A
1,0 điểm
4
C
1,0 điểm
5
B
1,0 điểm
6
C
0,5 điểm
7
C
0,5 điểm
8
C
0,5 điểm
9
A
0,5 điểm
10
A
0,5 điểm
II .Phần tự luận: (13 điểm)
Câu 1: (3 điểm ) A 
 a ( 1điểm) Tập xác định của A :
	(0,75 điểm)
Vậy x<0 hoặc x thì A có nghĩa	(0,25 điểm)
b .(1điểm) A 	(0,5 điểm)
Vậy A ( với x<0 hoặc x)	(0,5 điểm)
c. (1điểm) Để A 
Vậy với : -1 hoặc thì A < 
Câu 2 : (3 điểm)
a) (1điểm)Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P là số lẻ không chia hết cho 3
Do đó
* P = 2k+1 ( k Suy ra 	(0,5 điểm)
A = (P-1) (P+1) = (2k+1-1)(2k+1+1) = 2k (2k+2) = 4k (k+1)
	chia hết cho 8
	* P = 3m Suy ra A chia hết cho 3	(0,5 điểm)
	Vậy A = (P-1)(P+1) chia hết cho 24
b) (2 điểm) Ta có : xy – 2x –3y +1 = 0 	(0,25 điểm)
Vì x = 3 không là nghiệm của phương trình đã cho nên :
	 (*) 	(0,25 điểm)	
Vì y là số nguyên nên 5 chia hết cho (x-3) (x-3) nhận các giá trị là : ; 5 (0,25 điểm)
*) x-3 = 1 thoả mãn	(0,25 điểm)
*) x-3 =-1 loại	(0,25 điểm)
*) x-3 = 5 thoả mãn	(0,25 điểm)
*) x-3 = -5 loại	(0,25 điểm)
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương (x;y) là (4;7) và (8;3) (0,25 điểm)
Câu 3 (4 điểm)
 A
 E 
 H G 
 B D M C 
a) (2,5 điểm) Xét tg B = 	(0,25 điểm)
 Xét tg C = 	(0,25 điểm)
	tg B . tg C = 	(0,5 điểm)
Ta có BDH ~ ADC 	(0,5 điểm)
 BD . DC = DH . AD	(0,5 điểm)
 tgB . tgC = 	(0,5 điểm)
b) (1,5 điểm )
	Ta có Do đó Xét ADM có :	(0,5 điểm)
	HG // BC HG // DM 	(0,5 điểm)
	tgB.tgC = 3	(0,5 điểm)
Lưu ý : HS không vẽ hình thì không chấm điểm.
Câu 4:
a) (1,5 điểm )
	 Gọi A = = 1- - 	(0,25 điểm)	
	= 1- = 1- 	(0,25 điểm)
	= 1-	(0,25 điểm)
	( Do x + y = 1)	(0,25 điểm)
	Mà xy A 	(0,25 điểm)
	Vậy A đpcm	(0,25 điểm)
b) (1,5 điểm) Giải phương trình .
	ĐK : 	(0,5 điểm)
	Ta có : 
	(1)	(0,25 điểm)
Do :	 (
	(	(0,25 điểm)
	(
(1) đúng 	(0,25 điểm)
Với x = 1; y = 2; z = 3 thoả mãn điều kiện .
Vậy nghiệm (x,y,z) của phương trình đã cho là (1;2;3)	(0,25 điểm)
Hết
.....................................................................