Đề thi và đáp án học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán (Trường THCS Triệu Hóa)

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán 
(Thời gian làm bài 150 phút)
I. Trắc nghiệm (8,0 điểm) Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng.
Câu 1: Các phép tính và 
 có kết quả tương ứng là:
A. .
C. 6 và 5.
B. .
D. 2 và .
Câu 2: 
Các phép tính 
 có kết quả tương ứng là:
A. .
C. .
B. .
D. .
Câu 3: Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:
A. .
C. .
B. .
D. .
Câu 4: Tại a = , biểu thức: nhận giá trị là:
A. 1.
B. 2
C. 3.
D. 4.
Câu 5: Biết hàm số : y = + 22 (m là tham số) nghịch biến trên R, khẳng định nào sau đây đúng:
A. m < – 1
B. m 0
C. m < 0 
D. m – 1 
Câu 6: Nếu 
 thì biểu thức có giá trị là:
A. 2 . 
B. 3 . 
C. 4.
D. 5. 
Câu 7: Biểu thức có giá trị nhỏ nhất là:
A. 0.
B. 0,5. 
C. 1.
D. Một kết quả khác. 
Câu 8: Cho biết 00 << 900 và sin.cos= thì P = sin4+ cos4có giá trị bằng
A. .
B. .
C. 1 .
D. .
Câu 9: Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = 12 cm, BD = 16 cm thì khoảng cách giữa hai cạnh đối là:
A. 6 cm
B. 5,5 cm 
C. 4 cm
D. 9,6 cm 
Câu 10: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 5 cm. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng:
A. .
B. 
C. 
D. 
Câu 11: Cho tg= 0,5; (00 << 900) khi đó sin bằng:
A. 
B. 
C. 1.
D. 0,5 
Câu 12: Cho tg750 = khi đó sin 150 có giá trị là: 
A. 
B. 
C. 
D. 
II. Tự luận (12 điểm)
Bài 1: Cho biểu thức: 
Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
Rút gọn biểu thức A.
Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đường phân giác của 
 góc M của tam giác ABM, D là chân đường phân giác của góc M của tam giác BCM.
 a) Chứng minh rằng: ED // AC.
 b) Kẻ MH vuông góc với ED tại H. Chứng minh: MH2 = HE . HD.
 c) Biết , AC = 9 cm, MH = 2 cm. Tính chu vi tam giác MED. 
Bài 3: Giải phương trình: .
Bài 4: Cho các số thực a,b,c d > 0 . 
 Chứng minh rằng: 
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x + y + xy =10. 
Hết
Đáp áN
I. Trắc nghiệm (8,0 điểm)
Câu 1:
 D
1,0 điểm
Câu 7:
 C
0,5 điểm
Câu 2:
 A
1,0 điểm
Câu 8:
 B
0,5 điểm
Câu 3:
 D
0,5 điểm
Câu 9:
 D
1,0 điểm
Câu 4:
 D
0,5 điểm
Câu 10:
 C
0,5 điểm
Câu 5:
 A
0,5 điểm
Câu 11:
 A
0,5 điểm
Câu 6:
 A
0,5 điểm
Câu 12:
 A
1,0 điểm
II. Tự luận (12 điểm)
Bài 1: (2,5 điểm) 
a). Biểu thức A xác định khi . 
ĐKXĐ: 
b). Với ta có:
c). Theo b) với thì 
Ta có: 
Khi x nguyên, A có giá trị nguyên chỉ khi thuộc ước của 4.
Giải ra được 
0,5
1,0
0,5
0,5
Bài 2 (4,0 điểm)
a). Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:
Theo định lí Ta – lét đảo suy ra ED // AD.
1,0
b). Do ME và MD là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù 
D
A
B
E
H
 C
M
suy ra góc EMD = 900
Hay tam giác MED vuông tại M
Suy ra MH2 = HD . HE.
c). Từ ED//AC 
Tam giác MED vuông tại M, MH là đường cao
Suy ra ME.MD = MH.ED = 2.36 : 7 = 72 : 7.
Mặt khác:
ME2 + MD2 = ED2 . Nên (ME + MD)2 = ME2 + MD2 + 2MD.ME = 482 : 72
Suy ra ME + MD = . Tương tự ME – MD = 
Suy ra 
Chu vi tam giác MED = 
1
1
0,5
0,5
Bài 3: (2,0 điểm) 
+Phương trình xác định khi: 4x2 – 12 0 x2 – 3 0 
 . Do đó: ĐKXĐ: .
+Ta có:
Giá trị thoả mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có 2 nghiệm 
0,5
1,0
0,5
Bài 4: (2 điểm) . Ta có:
1,0
1,0
Bài 5: (1,5 điểm) Giải: x + xy + y = 10 (x + 1)(y + 1) = 11 (1) 
Do x, y nguyên nên từ (1) suy ra (x + 1) và (y + 1) là các ước của 11 
Ta có: Ư(11) . Do đó:
Vậy phương trình có 4 nghiệm: 
0,5
0,5
0,5