Đề thi và đáp án học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán (Trường THCS Triệu Khánh)

Trường THCS Thiệu KHánh
 Đề thi học sinh giỏi lớp 9
 Môn : Toán
Thời gian : 150 phút
I. Phần trắc nghiệm khách quan ( 8 điểm ) 
Hãy khoanh tròn các chữ cái đứng trước câu trả lời đúng
Câu 1 : ( 1 điểm ) Giá trị biểu thức 
	P = bằng 
 A. 2
 C. 2 
 B. 3 
 D. 3
Câu 2 : ( 1 điểm ) : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 2x + bằng
 A. -2
 C. - 
 B. 1 - 
 D. 2
Câu 3 : ( 1 điểm ) : Điều kiện xác định của biểu thức.
 M = là 
 A. x > 1+ 
 C. 0 < x <1- 
 B. x < 1- 
 D. 1 x < 1+
Câu 4 : ( 1 điểm ) : Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết Cos B = khi đó tgC nhận kết quả bằng : 
 A. 
 C. 
 B. 
 D. 
Câu 5 : ( 1điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng 54 cm và 96cm. Độ dài cạnh BC là : 
A. 20 cm
C. 27,5 cm
B. 25 cm
D. 22,5 cm
Câu 6 : ( 2 điểm ) : Hãy điền các giá trị thích hợp vào chỗ (..) để được các phát biểu đúng.
a. Nghiệm của phương trình : 
	= 2 là .
b. Nghiệm của bất phương trình : 
	- x + > 5 là ..
Câu 7:( 1 điểm): Hãy điền đúng (Đ) hoặc sai (S) vào ô trống trong các phát biểu sau: 
a). Nếu a R thì phương trình x= a luôn có nghiệm trong R 
b). 4 > 5
c). Cho tam giác DEF có DE = 5, DF = 12, EF = 13 khi đó gócD < 90º
d). Trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và cạnh góc vuông b, c khi đó a = 
II. Phần tự luận : ( 12 điểm ) 
Câu 1 : ( 2 điểm ) Cho biểu thức 
	A = 
Rút gọn A
Tìm x để > 2
Câu 2 : ( 1,5 điểm ) Giả sử x, y, z thỏa mãn : x.y.z = 1992
Chứng minh rằng : 
Câu 3 : ( 6 điểm ) 
1. (4 điểm ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD. BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng 
EF song song với AB
AB = CD . EF
2. ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A. Đường cao AH bằng 10 cm. Đường cao BK bằng 12 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 4 : ( 2,5 điểm ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
 13 - 7 = 
Trường THCS Thiệu Khánh
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
 Năm học : 2006 – 2007
Môn thi : Toán 
I. Phần trắc nghiệm khách quan ( 8 điểm ) 
Câu 1 : ( 1 điểm ) 
P = 
 	 = 
 = 
 = 
 = = = = 3
Đáp án : Khoanh ( B ) .3 
Câu 2 : ( 1 điểm ) 	Q = 2x + 
ĐKXĐ	5 - x
Do đó 	2x và 
Nên 	Q = 2x + 
Dấu bằng xảy ra khi x = - 
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là - 2
Đáp án : Khoanh A. - 2
Câu 3 : ( 1 điểm ) 
 ĐKXĐ :
Đáp án : Khoanh ( A ) : x > 1 + 
Câu 4 : ( 1 điểm ) 
	Vì cos B = 
 Mà sinhay 
Nên tgC = 
Đáp án : Khoanh ( B ) :
Câu 5 : ( 1 điểm ) 	C	b´	 
	H
Ta có h.c´ = 96 . 2 b 54 cm C´
	h.b´ = 54 . 2 	h
Mà = b´. c´ nên h= 96.2.54.2 = 12	A C B
	h= 12 
Do đó : BC = 
Đáp án : Khoanh ( B ) 25 cm 
Câu 6 : ( 2 điểm ) 
a. ( 1 điểm ) ( 1 ) 
ĐKXĐ
(1 ) 
hoặc 6 – x = 0 x = 6 ( Thỏa mãn điều kiện ) 
 hoặc x – 2 = 0 x =2 ( Thỏa mãn điều kiện ) 
Đáp án 
b. ( 1 điểm ) -x + ( 1 ) 
	+ Nếu x- 1 thì ( 1 ) 
	- x + x- 1 >5 
 	- 1 > 5 ( vô lý ) 
	+ Nếu x – 1 < 0 x < 1 thì ( 1 ) 
 - x – x + 1 >5 
	 - 2x > 4 
	 x < - 2 
Kết hợp với điều kiện x < 1 thì x < - 2 là nghiệm 
Đáp án : x < -2 
Câu 7 : ( 1 điểm ) 
a) S
0,25 đ
b) S
0,25 đ
c) S
0,25 đ
d) Đ
0,25 đ
II. Phần tự luận : ( 12 điểm ) 
Câu 1 : ( 2 điểm ) 
a. Rút gọn A : ĐK x > 0 và x1 ( 1 ) 0,25 đ
A = 	0,25 đ
 = 
 = 	0,25 đ
 = 	0,25 đ
b. ( 1 điểm ) 
Muốn > 2 thì 	0,25 đ
Vì x > 0 nên : 1 – x > 2x 	0,25 đ
	 1 > 3x 
	 > x	0,25 đ
Kết hợp với điều kiện ( 1 ) ta có với 0 < x < thì 	0,25 đ
Câu 2 : ( 1,5 điểm ) 
	Vì x.y.z = 1992 Nên yz = 
Ta có 
Do đó
	 ( Điều phải chứng minh ) 
Câu 3 ( 6 điểm ) 
1/ ( 4 điểm ) Mỗi ý ( 2 điểm )
	A	B	
	E
	 	F
	D C
	K	I
a) Chứng minh EF song song với AB : 
Vì AB || DC ( gt ABCD là hình thang ) 
Nên góc ABD = góc EDK ( so le trong ) 
 Góc EAB = góc EKD ( so le trong ) ( 0,25 đ ) 
 AEB ~ KED ( g.g) ( 0,25 đ ) 
 	( 1 ) 	 ( 0,25 đ ) 
Tương tự góc FBA = góc FIC ( so le trong ) 
	 Góc FAB = góc FCI ( so le trong ) ( 0,25 đ ) 
 AFB ~ CFI ( g. g ) ( 0,25 đ ) 
 	( 2 ) 	( 0,25 đ ) 
Mà CI = KD ( vì cùng bằng CD – AB ) 	( 0,25 đ ) 
Nên từ (1) và (2) suy ra 
	EF || KC hay EF || AB ( đpcm ) 	( 0,25 đ ) 
b. Chứng minh : AB= CD. EF
Từ AEB ~ KED ( c/m trên ) 	( 0,25 đ )
vì AB = KC ( ABKC là HBH ) ( 0,5đ )
	( 0,25 đ ) 
Mặt khác EF || DI ( c/m trên ) ( vì DI = AB ) ( 2 ) ( 0,5 đ)
Từ (1) và (2) suy ra ( ĐPCM ) 	A
2/. ( 2 điểm ) 
Ta có : S ABC = ( 0,25 đ ) 	K
	CA . BK = CB . AH
 CA . 12 = CB . 10 
 (1 ) 	 ( 0,25 đ ) 	 B	 C 
	 H
Trong tam giác vuông BAH áp dụng định lý pitago ta có 
	(2) ( 0,25 đ ) 
Mà ( vì ABC cân tại A ) 
AC = AB ( ABC cân ) 
Thay vào ( 2 ) ta có :
 ( 3 ) 	( 0,25 ) 
Thay ( 1 ) vào ( 3 ) ta có : 
	( 0,5 đ ) 
Thay AC = 12,5 vào (1) thì 	( 0,25 đ) 
Vậy AB = AC = 12,5 ( cm ) 
BC = 15 ( cm ) 	( 0,25 đ ) 
Câu 4 : ( 2,5 điểm ) 
Vì 20 là số vô tỷ. Nên vế trái cần phải là các căn thức đồng dạng chứa 
Đặt ; ( a, b là số nguyên không âm ) 
Do đó (1) có dạng 13a – 7b = 20 
Vì ( 13; 7 ) = 1; nên ( 1 + b ) 13
Đặt 1 + b = 13 K b = 13 K - 1 do đó a = 1 + 7K để a ; b 
Thì K . Vậy nghiệm nguyên của phương trình là :
 với Z