Đề thi và đáp án học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán (Trường THCS Triệu Quang)

TRường THCS Thiệu Quang
Đề Thi Học sinh giỏi
Môn : Toán.
Năm học 2006- 2007.
Thời gian: 150' 
I/ trắc nghiệm: (8điểm). Hãy chọn đáp án đúng.
Câu 1:
a. Kết quả của phép tính:
 là: A. 3 +;	B. 5 + ; C. 3 - ;
D. một số âm; 	E. 3 + .
b. kết quả của phép tính:
 là: A.; 	B. 3 + ; 	C. 3 - ;	
D. – 3 - ;	E. 3 .
Câu 2: 
Nếu x < 0 thì bằng : A. 1;	B. 1- 2x;	C. - 2x - 1;
	D. 1+ 2x;	E. 2x – 1;
Câu 3:
Cho P = Tìm tất cả những giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
A. x= 1; 2; 3	B. x = 0; 4; 9	C. x = 0; 2; 3	D. x = 0; 4; -1
	E. không có câu nào trong các câu trên nêu đủ tất cả các giá trị x cần tìm.
Câu 4: Tập nghiệm của phương trình: 
	.
A. S = 	B. S = 	C. S = 	D. S = .
Câu 5: Phương trình:	 
A. Phương trình vô nghiệm;	B. Phương trình có duy nhất 1 nghiệm.
C. Phương trình có đúng 2 nghiệm;	D. Phương trình có vô số nghiệm.
Câu 6: Tính x và y ở hình bên à
21
24
x
y
A. x = ; 	y = 3 ;
B. x = ; 	y = 6 ; 
C. x = 4 	y = 3 ; 
D. x = 4 	y = 7 ;
E. x = ; 	y = 3 ; 
Câu 7: Giả sử một chiếc đồng hồ có kim giờ dài 4 cm và kim phút dài 6cm. Hỏi vào lúc 2 giờ đúng, khoảng cách giữa 2 đầu kim là bao nhiêu ?
A. 3 cm; 	B. cm;	C. cm ;	D. 2 cm;	E. Tất cả các câu trên đều sai.
Câu 8:	Cho đường tròn có bán kính là 12, một dây cung vuông góc với một bán kính tại trung điểm của bán kính ấy. Dây cung có độ dài là:
A. 3 ;	B. 27;	C. 6 ;	D. 12 ;	E. Một đáp số khác.
II/ Tự luận (12 điểm).
Câu 1: Cho biểu thức.
	A= ;
a. Rút gọn A.
b. Tìm các giá trị của x để cho A < 1.
c. Tìm các giá trị x sao cho A z.
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết sin C = 0,6. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có DC = 2 AD = 2a.
Từ trung điểm I của DC hạ IH vuông góc với AB tại H, DH cắt AI tại E.
a. Chứng minh: ;
	b. Gọi h là khoảng cách giữa 2 cạnh DC và AB.
	Chứng minh: ; 
	c. Tính IA theo a biết ;
Câu 4: Cho a, b là các số thực thỏa mản điều kiện: a + b .
	Chứng minh rằng: a + b;
Đáp án và Biểu điểm
Môn: Toán 9.
I/ Trắc nghiệm: (8 điểm):
Câu 1: 	a. 	D. Một số âm;	0,5đ
	b. 	A. ;	0,5đ
Câu 2: 	B. 1- 2x;	1đ	
Câu 3: 	B. x = 0; 4; 9;	1đ
Câu 4:	C. S = ;	1đ
Câu 5: 	C. Phương trình có đúng 2 nghiệm;	1đ 
Câu 6:	B. x = 3 ;	y = 6 ;	1đ.
Câu 7: 	D: 2 cm;	1đ.
Câu 8: 	D: 12 ;	1đ.
II/ Tự luận: (12 điểm).
Câu 1: (4 điểm);
a.	A = 
	= 	0,5đ.
	= 	0,5đ.	
	= 	0,25đ.
	= 	0,25đ.
	= 	0,25đ.
	= 	0,25đ.
b. ĐKXĐ: x , x và x 	0,25đ.
A <1 	0,25đ.
	0,25đ.
Kết hợp với đk ta phải có: 0 và x	0,25đ.
c. Ta có 	A= 	0,25đ.
Để A ta phải có là ước của 4.	0,25đ.
	 nhận các giá trị : ;	;	;	0,25đ.
Giải ra và đối chiếu với giá đk được các giá trị của x là:
	1 ; 	16;	 25 ; 	49;	0,25đ.
Câu 2: (2 điểm).
Vì: B và C là 2 góc phụ nhau nên cosB = sin C = 0,6	0,25đ.
Ta có: Sin2 B + Cos2 B = 1	0,25đ.
	=> 	Sin2 B = 1 – Cos2 B = 1- (0,6)2 = 0,64;	
	=> 	Sin B = 0,8;	0,5đ.
 	TgB = 	0,5đ.
B
C
D
I
H
E
a
a
a
h
1
1
2
1
2
A
K
	Cotg B = 	0,5đ.
Câu 3: (4 điểm).
a. Vì A1 = I1 (so le trong)	0,25đ.	 
 ADI cân tại D (AD = DI = a)
	=> A2 = I1	0,5đ.
	=> A1 = A2
Do đó AE là tia phân giác của A 	0,25đ.	
áp dụng tính chất đường phân giác trong ADH 
Ta có: 	0,5đ.
b. Chứng minh tương tự ta cũng có BI là tia phân giác của B;	0,25đ.	
Mà A + B = 1800 (hai góc kề của hình bình hành)
=> A1 + B1 = 900 => AIB = 900 	0,25đ.
Xét tam giác vuông AIB có IH là đường cao.
áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông AIB ta có
	0,5đ.
c. Kẻ DK AB 	0,25đ.
	 ADC = 300 (gt) => KAD = ADC = 300 (2 góc so le).	0,25đ.
áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ADK ta có:
KD = AD . Sin DAK = a Sin 300 => IH = KD = a Sin 300 	0,25đ.
	 KAD = 300 => DAB = 1500 (2 góc kề bù) => A1= 750	0,25đ.
Xét tam giác vuông AIH ta có:
HI = AI . Sin A1 => AI = 	0,5đ.
Câu 4: (2 điểm).
Ta có: a2 + b 2 + 	
	= (a + b) 2 – 2 (ab + 1) + 	1đ.
	= 	0,5đ.
	=> a2 + b 2 + 	0,5đ.