Đề thi và đáp án học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán (Trường THCS Triệu Tâm)

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán. Thời gian: 150 phút .
I.Trắc nghiệm .
Bài 1. Các phép tính : và 
có kết quả tương ứng là:
a, và 1 b, 2 và 
c, 1 và 	d, 1 và .
Bài 2. Cho biểu thức . Biểu thức A có nghĩa khi:
a, 	 b,
c, 	 d, hoặc 
Bài 3. Tập nghiệm của phương trình : là:
a, 	 b, 
c, 	 d, 
Bài 4. Cho .
Giá trị của S là: a, 	b, 
 c, 	d, .
Bài 5. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Lấy điểm IẻAB điểm MẻBC sao cho éIDM=450. Chu vi D BIM bằng:
a,; b, ; c,; d, .
Bài 6. Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Có độ dài đáy nhỏ là 14cm , đáy lớn là 50cm. Chu vi và diện tích của hình thang là:
a, 94cm ; 1536cm2 b, 124cm; 768cm2.
c, 64cm; 196cm2 d, 125cm; 765cm2.
Bài 7. Độ dài x=AD; y=AB trong hình vẽ trên là bao nhiêu:
(tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ 3)
a, x=6,736; y=2,660.	D
b, x=5,736; y=3,660.
c, x=5,735; y=2,567. 5
d, x=6,787; y=2,650.	 	
	400
	 A	B C 
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A, BC=12cm, đường cao AH=4cm (HẻBC). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
a, 13cm; b, 6,5cm; c, 12cm; d, 6cm.
II/Tự luận :
Bài 1. Cho biểu thức: 
 (với )
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Chứng minh rằng: .
Bài 2. a, Cho .Chứng minh:.
b,Cho.Chứng minh:.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O, một dây AB cố định, C là một điểm chuyển động trên cung nhỏ AB. Gọi M là trung điểm của dây BC, từ M kẻ MN vuông góc với tia AC (NẻAC).
a, Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b, Tìm tập hợp điểm M.
Bài 4. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:.
Đáp án và biểu điểm.
I/Trắc nghiệm:
Bài
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án đúng
a
d
b
c
b
b
a
b
(Mỗi câu khoanh tròn ý đúng được 1 điểm.)
II/Tự luận:
Bài 1. 
a, Rút gọn:
 (0,5điểm)
 (0,5 điểm)
 (0,75 điểm)
 Vậy: với . (0,25 điểm)
b, Vì x>0 nên (0,75 điểm)
 Suy ra: (1 điểm)
 Vậy: 0<A<2 (0,25 điểm)
Bài 2. a, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:
 (0,5 điểm)
 (0,5 điểm)
Do đó: (0,5 điểm)
Dấu "=" xãy ra khi và Û (0,5 điểm)
b, (0,5 điểm)
 	 (0,25 điểm)
	 (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
(Bất đẳng thức đúng vì nên xy³1) (0,25 điểm)
Vậy: Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi: x=y=1. (0,25 điểm)
Bài 3. a, Kẻ đường kính AD (D cố định).	
C
Trong DACD có đường trung tuyến N 
nên éACD=900 hay CD^AC (0,25 điểm)
mà MN^AC suy ra: CD ÔÔ MN.(1) (0,25 điểm)
Gọi I là trung điểm của BD.
Vì B, D cố định nên I cố định (0,25 điểm). oO
Trong DBCD có MI là đường trung bình A 
nên MI ÔÔ CD. (2)
Từ(1),(2) suy ra MN luôn đi qua điểm I cố định. (0,25 điểm)
b, Phần thuận
Gọi K là trung điểm của OB nên OK=KB (3)(0,25 điểm).
Mà M là trung điểm của BC nên OM^BC hay éOBM=900.
Trong D OBM có éOBM=900 nên:(4) (0,25 điểm).
Vì O, B cố định nên K cố định (5). (0,25 điểm)
Từ (3), (4), (5) suy ra: OK=BK=MK.
 Vậy quỷ tích điểm M là đường tròn tâm K bán kính KO . (0,25 điểm)
Giới hạn: Vì C thuộc cung nhỏ AB nên:
khi C trùng với B thì M trùng với B.
khi C trùng với A thì M trùng M'. (M' là giao của đường tròn bán kính OB và đường thẳng AB).
Vậy M thuộc cung BM' của đường tròn tâm K bán kính KO (0,25 điểm).
Phần đảo:
 Giả sử M thuộc cung BM' của đường tròn tâm K bán kính KO.
Trong D MOB có (0,25 điểm).
Suy ra D MOB vuông tại M hay éOMB=900 (0,25 điểm)
Do đó: MB=MC (t/c bán kính vuông góc với dây cung).
 Vậy M là trung điểm của BC. (0,25 điểm)
Bài 4. Ta phải có điều kiện: 0<x, y<50.
(pt)Û . (0,25 điểm)
Để y nguyên thì nguyên.
 ị2x= 4k2, kẻZ Û x=2k2, kẻZ.
Mặt khác vì 0<x<50 Û 0< 2k2 < 50, (kẻZ)Û 0<k<5 (kẻZ)
 Û k = 1, 2, 3, 4. (0,25 điểm)
Ta xét trường hợp:
k=1 Û x=2 thì y=32 
k=2 Û x=8 thì y=18
k=3 Û x=18 thì y=8
k=4 Û x=32 thì y=2. (0,25 điểm)
 Vậy pt có các cặp nghiệm: (2;32), (8;18), (18;8), (32;2). (0,25 đểm).