Đề thi và đáp án tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Ninh Bình năm học 2013 - 2014 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN
Ngày thi: 20/6/2013
Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (1,5 điểm). 
1. Rút gọn biểu thức .
2. Giải hệ phương trình .
Câu 2 (2,0 điểm). Cho biểu thức (với ).
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của A.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình (1)
(với x là ẩn, m là tham số).
1. Giải phương trình (1) với m = 0.
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng .
Câu 4 (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 
	1. Chứng minh tứ giác BCFM là tứ giác nội tiếp.
	2. Chứng minh EM = EF.
	3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng, từ đó suy ra góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Câu 5 (1,5 điểm). 
1. Chứng minh rằng phương trình (x là ẩn, n là tham số) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.
2. Giải phương trình .
------HẾT------
Họ và tên thí sinh:..................................................... Số báo danh:...............................................
Họ và tên, chữ ký:
Giám thị 1:..................................................................................................
Giám thị 2:..................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN - Ngày thi 20/6/2013
 (Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(1,5 điểm)
1. (0,5 điểm) 
0,25
0,25
2. (1,0 điểm)
0,5
. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (4; 1)
0,5
Câu 2
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
0,25
= 
0,25
0,25
 = 
0,25
2. (1,0 điểm)
Với thì 1 + x + x2 1
0,25
 A = 
0,25
A = 2 khi x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi x = 0
0,5
Câu 3
(2,0 điểm)
1. (0,75 điểm)
Với m = 0 phương trình (1) trở thành 
0,25
0,25
 hoặc .
Vậy với m = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm: x = 0; x = 2.
0,25
2. (1,25 điểm)
. Vậy PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt .
0,25
Để x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một vuông thì ta phải có x1, x2 > 0.
Theo Vi-ét ta có .
Phương trình (1) có hai nghiệm dương .
0,25
Theo giả thiết có 
0,25
 (*)
0,25
Giải phương trình (*) được m = 1 (thoả mãn), m = -2 (loại).
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
0,25
Câu 4
(3,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Ta có M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB (giả thiết) nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay . 
0,25
Mặt khác (giả thiết).
0,25
Do đó . Vậy tứ giác BCFM là tứ giác nội tiếp.
0,5
2. (1,0 điểm)
Ta có BCFM là tứ giác nội tiếp (cmt) (vì cùng bù với )
0,25
Mặt khác (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
0,25
Từ 
0,25
Suy ra tam giác EMF là tam giác cân tại E (đpcm)
0,25
3. (1,0 điểm)
Gọị H là trung điểm của DF. Suy ra và .
Trong đường tròn ta có: và lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung DF. Suy ra (4).
Từ (3) và (4) suy ra hay . 
0,25
Trong đường tròn ta có: (góc nội tiếp cùng chắn )
Suy ra 
0,25
Vì IH và BC cùng vuông góc với EC nên suy ra IH // BC. Do đó Ba điểm D, I, B thẳng hàng.
0,25
sđ. Vì C cố định nên D cố định sđ không đổi.
Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD. 
0,25
Câu 5
(1,5 điểm)
1. (0,75 điểm)
Với n = -1: Phương trình đã cho trở thành .
0,25
Với :
0,25
Ta có , là số chính phương, các hệ số của phương trình là số nguyên nên suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.
0,25
2. (0,75 điểm)
Cách 1: Điều kiện: .
Đặt 
0,25
Phương trình đã cho trở thành 
 hoặc 
0,25
Với (vô nghiệm)
Với (TM)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .
0,25
Cách 2: Điều kiện: .
0,25
0,25
+ (thỏa mãn)
+ : vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .
0,25
------Hết------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN
Ngày thi: 21/6/2013
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức (với ). 
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình 	(1)
(với x là ẩn, m là tham số).
1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm .
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 (2,0 điểm). 
1. Giải hệ phương trình .
2. Tìm tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa mãn .
Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm O bán kính R có đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy một điểm H (H khác O và H khác B). Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tại hai điểm M và N. Trên tia đối của tia NM lấy một điểm C. AC cắt đường tròn tại K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
1. Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh rằng tam giác NKF là tam giác cân.
3. Giả sử KE = KC. Chứng minh rằng là không đổi khi H di chuyển trên đoạn thẳng OB.
Câu 5 (1,5 điểm). 
1. Cho x, y là các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho là số nguyên.
------HẾT------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN - Ngày thi 21/6/2013
 (Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(1,5
điểm)
1. (1,0 điểm)
0,5
0,5
2. (0,5 điểm)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có 
0,25
 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy khi .
0,25
Câu 2
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Phương trình (1) có nghiệm 
0,25
0,25
0,25
Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm .
0,25
2. (1,0 điểm)
Ta có PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt .
0,25
.
0,25
Theo Vi-ét ta có Þ
0,25
B = 0 khi và chỉ khi hoặc .
Vậy maxB = 0 khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = 2.
0,25
Câu 3
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
0,25
Kết hợp với phương trình suy ra xz = 2.
y và là hai nghiệm của PT 
0,25
 x và z là hai nghiệm của phương trình hoặc . Do đó hoặc .
0,25
Thử lại ta thấy x = 1, y = 3, z = 2 hoặc x = 2, y = 3, z = 1 thỏa mãn HPT đã cho.
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (x; y; z) là (1; 3; 2) và (2; 3; 1).
0,25
2. (1,0 điểm)
0,5
 hoặc 
Vậy các cặp số thực (x; y) thỏa mãn bài toán là (0; 0), (1; 1) và (-1; 1).
0,5
Câu 4
(3,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Ta có (giả thiết) 
0,25
Mặt khác (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay .
0,25
 nên tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
0,5
2. (1,0 điểm)
Vì BK ^ AC (do ) và NF ^ AC (giả thiết) nên BK // NF. 
0,25
 (2 góc đồng vị) và (2 góc so le) (1)
0,25
Mặt khác và (ĐL góc nội tiếp)
mà (vì đường kính AB vuông góc với dây cung MN) nên (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra . Vậy DNKF cân tại K.
0,25
3. (1,0 điểm)
Nếu KE = KC thì DKEC vuông cân tại K Þ .
Tứ giác AHEK nội tiếp nên (cùng bù với )
0,25
Þ DAKB vuông cân tại K Þ OK ^ AB
Mà MN ^ AB (gt) nên OK // MN.
0,25
Gọi I là giao điểm của KO với (O ; R) thì IK // MN.
Vì IK và MN là hai dây cung của (O) nên Þ MI = KN
0,25
Vì KI là đường kính của (O) nên . 
Áp dụng định lí Pitago, ta có : hay 
Vậy: không đổi khi H di chuyển trên đoạn thẳng OB.
0,25
Câu 5
(1,5 điểm)
1. (0,75 điểm)
0,25
Với thì ta có 
0,25
; 
Vậy minC = 1 khi và ; maxC = 3 khi và .
0,25
2. (0,75 điểm)
 là số nguyên 
Do đó tồn tại số nguyên dương k sao cho (1)
0,25
Nếu thì từ (1) ta có , mâu thuẫn.
Do vậy k = 1.
0,25
Từ (1) ta có 
Giải phương trình này với điều kiện a, b nguyên dương được a = 3, b = 4 hoặc a = 4, b = 3. Thử lại thấy chỉ có a = 4, b = 3 thỏa mãn đề bài.
Vậy (a; b) = (4; 3).
0,25
--------Hết--------