Đề thi và đáp án tuyển sinh lớp 10 THPT Đồng Nai năm học 2013-2014 đề thi môn: Toán (không chuyên)

SỞ GD&ĐT
ĐỒNG NAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.
Bài 1.
     a) Giải phương trình:   (với x∈R).
     b) Giải hệ phương trình: 
 Bài 2. 
Cho biểu thức
(với a∈R và a≥2).
    a) Rút gọn biểu thức P.
    b) Chứng minh rằng nếu a là số thực và a≥2 thì P≥4.
Bài 3. 
Cho phương trình  (với x là ẩn số,  là tham số thực).
    a) Tìm các giá trị của  để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
   b) Cho  là số thực dương. Gọi ,  là hai nghiệm của phương trình đã cho, biết >. Tính  theo .
Bài 4. 
Cho các hàm số  có đồ thị là (P); y=kx −2 có đồ thị là d (với k là tham số thực).
    a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho).
  b) Tìm k để điểm M(xM;yM) thuộc cả hai đồ thị (P) và d đã cho, biết yM=2 và xM>0.
Bài 5. 
Nếu cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể (chưa có nước) trong thời gian 1 giờ 12 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 20 phút và vòi thứ hai chảy trong 45 phút thì chỉ được   bể.
Khi mở riêng từng vòi. Tính thời gian để mỗi vòi khi chảy riêng đầy bể.
Bài 6. 
Cho đường tròn (O) tâm O đường kính AB=2R. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C ≢  A, B. Lấy điểm D thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O), với D ≢ B, C. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B cắt các đường thẳng AC, AD theo thứ tự tại các điểm M, N.
    a) Chứng minh tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
    b) Chứng minh AD.AN=AC.AM=4R2.
  c) Vẽ đường kính CE của nửa đường tròn (O). Vẽ đường kính CF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDNM. Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài giải
Bài 1.
a) Giải phương trình:   (với xÎR).
Đặt t = x2 (đk: t ≥0)
PT đã cho trở thành t2 + t – 12 = 0
D = b2 – 4ac = 1 + 4.12 = 49 > 0, Þ = 7
Þ PT có 2 nghiệm phân biệt
t1 = = -1+7 = 6 (nhận)
t2 = = -1-7 = -8 (loại)
Với t1 = t = 6, Þ x2 = 6 Û x = 
Vậy PT đả cho có 2 nghiệm x = 
b) Giải hệ phương trình: 
Vậy hệ PT đã cho có cặp nghiệm duy nhất 
 Bài 2. 
    a) Rút gọn biểu thức P.
	(với aÎR và a≥2).
    b) Chứng minh rằng nếu a là số thực và a≥2 thì P≥4.
Ta có: a ≥ 2 Û 2a ≥ 4 (1)
a ≥ 2 Û a-1≥ 1 Û (2)
Từ (1) và (2) Þ , hay P ≥ 4
Bài 3. 
Cho phương trình  (với x là ẩn số,  là tham số thực).
D’ = b’2 – ac = 1 + 2m
	Để PT có 2 nghiệm phân biệt khi D’ > 0 
Û 1 – 2m > 0 Û m < 
Vậy m < thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Viet ta có: 
Ta có: ( vì >)
Bài 4. 
a) Vẽ đồ thị (P):  
b) Vì yM=2 Î (P) , Þ 2 = 2x2 Û x = 1 (nhận vì xM>0) hoặc x = -1(loại)
Thay y=2 và x=1 vào (d) ta được: 2 = k – 2 Û k=4.
Bài 5. 
Gọi x(giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể
Gọi y(giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x,y >0 )
Trong 1 giờ :
	-vòi thứ nhất chảy bể
	-vòi thứ hai chảy bể
	-cà hai vòi cùng chảy + = bể (1)
Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 20 phút và vòi thứ hai chảy trong 45 phút thì chỉ được   bể. ta có PT: + = (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ PT: 
Vậy: thời gian để mỗi vòi khi chảy riêng đầy bể vòi I là 2 giờ vòi II là 3 giờ .
Bài 6. 
Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp đường tròn
Ta có: (tính chất tiếp tuyến)
Þ (1)
Có: (góc nội tiếp chắn cung)
Hay (2)
Từ (1) và (2) Þ
Þ Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp đường tròn.(Góc ngoài bằng góc trong đối diện)
    b) Chứng minh AD.AN=AC.AM=4R2.
Xét DADC và DAMN có: 
Â: chung
Nên DADC đồng dạng DAMN (g-g)
 Hay AD.AN=AC.AM (3)
Có: (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Xét DADB và DABN có:
Â: chung
 (cmt)
Nên DADB đồng dạng DABN (g-g)
Þ AD.AN = AB2 = 4R2 (4)
Từ (3) và (4) 
Þ AD.AN=AC.AM=4R2.
c) Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Ta có: (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính CE )
 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính CF )
Þ 
Hay 
Þ ba điểm D, E, F thẳng hàng.