Đề thi và đáp án tuyển sinh lớp 10 THPT Lạng Sơn năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán (dành cho lớp chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu
Câu 1 (2 điểm) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol (P): y = - x2. 
a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);
b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2). 
 Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25.
Câu 2 (2 điểm) 
	a. Giải hệ phương trình ;
	b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = .
Câu 3 (2 điểm) 	
a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất.
b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = .
Câu 4 (3 điểm) 
	Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C khác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC, các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E.
a. Chứng minh tam giác EAI cân;
	b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID;
c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b. 
Câu 5 (1 điểm) 
Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.
---------------------------------------------------------------------------------Hết------------------------------------------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
HDC CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)
Hướng dẫn chấm gồm có 2 trang
Chú ý:
- Học sinh có thể giải theo những cách khác nhau, nếu đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa ứng với phần đó;
- Đối với bài hình học: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai hẳn, không cho điểm;
- Điểm của bài thi không làm tròn, để lẻ đến 0,25 điểm.
Câu
Ý
Nội dung trình bày
 Điểm
Câu 1
2 điểm
a
Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) 2 = 2.1 – m + 1
0,5
Vậy: m = 1
0,5
b
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt x2 + 2x – m + 1 = 0
có hai nghiệm phân biệt 
0,25
Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1
0,25
Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2) 
Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5
0,25
Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m)
0,25
Câu 2 
2 điểm
a
Đặt 
0,25
Khi đó có hệ: 
0,25
Từ: 
0,25
Vậy hệ có nghiệm (2; -2)
0,25
b
Ta có: x – y + 1 = .
0,25
Hay: .
0,25
Suy ra: .
0,25
Vì vậy có: x = 2; y = 1.
0,25
Câu 3 
2 điểm
a
Do: nên ADME là hình chữ nhật
0,25
Nên : DE = AM
0,25
DE nhỏ nhất AM nhỏ nhất 
0,25
Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A
0,25
b
A = , (*) có nghiệm x
0,25
Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 
0,25
Nếu A 0 có : 
0,25
Vậy : 
0,25
Câu 4 
3 điểm
a
 Vẽ hình để chứng minh a
0,25
Do AD, CE là các đường phân giác nên : 
0,25
Do đó: 
0,25
Suy ra: 
Vậy: tam giác EAI cân tại E
0,25
b
Ta có: (đối đỉnh) 
0,25
 (cùng chắn cung DE)
0,25
Do đó : . 
0,25
Suy ra: 
0,25
c
AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0
0,25
Do: nên BID vuông cân 
suy ra: DB = a/ => BF = a
0,25
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có:
BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 - bx - a2 = 0
0,25
Có: x = (loại), x = . Vậy AB = 
0,25
Câu 5 
1 điểm
Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 201420142014 = an, có n bộ 2014. n N*
Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư. 
0,25
Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai 2013
hay: 
0,25
Số có dạng 201420142014 . 104i 2013
Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n Î N*
0,25
Vậy: có số dạng 201420142014 chia hết cho 2013
0,25
--------------------------------------------------------------------------Hết-----------------------------------------------------------------------------------