Đề thi và đáp án tuyển sinh lớp 10 THPT Vĩnh Phúc chuyên năm học 2013-2014 môn: Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh 
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————
Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức , với .
Rút gọn biểu thức .
Tìm tất cả các giá trị của để .
Câu 2 (2,0 điểm). 
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình , (x là ẩn, m là tham số).
 a) Giải phương trình đã cho với 
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập phương của hai nghiệm đó bằng 27.
Câu 4 (3,0 điểm). 
Cho đường tròn và điểm nằm ngoài . Từ điểm kẻ hai tiếp tuyến ( là các tiếp điểm) tới đường tròn . Từ điểm kẻ cát tuyến ( nằm giữa và D, MBD không đi qua ). Gọi là giao điểm của và . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt đường tròn tại E (E khác C), gọi là giao điểm của và . Chứng minh:
a) Tứ giác nội tiếp.
b) K là trung điểm của BD.
c) AC là phân giác của góc .
Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh: 
-----------------HẾT-----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:; SBD:.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
—————————
A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
Cho biểu thức , với .
a
Rút gọn biểu thức .
1,0
0,50
0,25
. Vậy .
0,25
b
Tìm tất cả các giá trị của để .
1,0
Theo phần a) ta có 
0,50
. KL các giá trị của x cần tìm là: 
0,50
2
a
Giải hệ phương trình: 
1,0
Điều kiện xác định: . Đặt 
0,25
Thay vào hệ đã cho ta được
0,50
. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .
0,25
b
Giải phương trình: 
1,0
Để ý rằng nên phương trình được viết lại về dạng
 (1)
0,50
Phương trình (1) tương đương với 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
0,50
3
Cho phương trình , (x là ẩn, m là tham số).
a
Giải phương trình khi 
1,0
Khi phương trình có dạng 
0,25
Phương trình này có biệt thức 
0,25
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và 
0,50
b
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập phương của hai nghiệm đó bằng 27.
1,0
Phương trình đã cho có biệt thức
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
0,25
Khi đó, theo định lý Viét: 
Ta có
0,25
 (1)
0,25
Do phương trình có biệt thức nên 
Vậy .
0,25
4
B
K
E
H
C
A
O
M
D
a
Tứ giác nội tiếp.
1,0
Do MA, MC là tiếp tuyến của (O) nên 
0,50
 Tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn đường kính OM.
0,50
b
K là trung điểm của BD.
1,0
Do CE // BD nên , (cùng chắn cung ) . Suy ra tứ giác AKCM nội tiếp.
0,50
Suy ra 5 điểm M, A, K, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay OK vuông góc với BD. Suy ra K là trung điểm của BD.
0,50
c
AH là phân giác của góc .
1,0
Ta có: , (Do đồng dạng) đồng dạng tứ giác BHOD nội tiếp (1)
0,25
Tam giác OBD cân tại O nên (2)
0,25
 Tứ giác BHOD nội tiếp nên (3)
0,25
Từ (1), (2) và (3) suy ra AC là phân giác của góc .
0,25
5
Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh: 
1,0
Do nên ta có
0,25
Áp dụng bất đẳng thức 
0,25
Tương tự và 
0,25
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu “=’’ khi .
0,25
---------------------------Hết----------------------------