Đề thi và đáp án tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Khánh Hòa năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán (không chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
 KHÁNH HÒA	 NĂM HỌC: 2013 – 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
	MÔN THI: TOÁN (KHÔNG CHUYÊN)
	 Ngày thi: 21/06/2013	(Đề thi có 01 trang) (Thời gian: 120 phút - không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2,00 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)
	1) Chứng minh: 
	2) Cho biểu thức P = với a > 0 và a ≠ 1.
	Rút gọn rồi tính giá trị của P tại a = 20142 .
Bài 2: (2,00 điểm) 
	1) Tìm x biết 
	2) Giải hệ phương trình: 
Bài 3: (2,00 điểm)
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parapol (P): 
	1) Vẽ đồ thị (P).
	2) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB.
Bài 4: (4,00 điểm) 
	Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N.
	1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.
	2) Chứng minh ND là phân giác của .
	3) Tính: 
	4) Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng AC và AD sao cho M là trung điểm của EF. Nếu cách xác định các điểm E, F và chứng minh rằng tổng (AE + AF) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
----------------- HẾT --------------------
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:  SBD:/ Phòng: 
Giám thị 1: ... Giám thị 2: 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: ( 2,00 điểm) 
1) Chứng minh: 
Ta có: 
2) P = (ĐK : a > 0 và a ≠ 1)
Ta có: P= 
	Với a = 20142, ta có : P = 
Bài 2: (2,00 điểm) 
	1) Tìm x biết (ĐK: x ≥ -3/2)
Û 
Û
Û
Û
Û (thỏa đk)
	2) Giải hệ phương trình: 
Û
Lấy (1) trừ (2), ta có: 11y2 + 11y = 22 Û y2 +y – 2= 0 Û y = 1 hoặc y = -2
* Với y = 1, thay vào (1), ta có pt: 3x2 +6x + 3=0 Û 3(x+1)2 = 0 Û x = -1
* Với y = -2, thay vào (1), ta có pt: 3x2 +6x + 3=0 Û 3(x+1)2 = 0 Û x = -1
Vậy hpt có nghiệm (x ;y) Î { (-1 ;1), (-1 ;-2)}.
Bài 3: (2,00 điểm)
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parapol (P): 
	1) Vẽ đồ thị (P). ( các em tự vẽ)
	2) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB.
· M
1
·
2
·
-1 ·
·
· A
· B
O · 
Gọi A(x ; 0) và B(0 ; y) 
Vì M thuộc (P) có x = 2 nên: y = -1. Vậy M (2 ; -1)
Ta có : SOMA = .1.OA ; SOMB = .2.OB 
 và từ: SOMA = 2SOMB Þ OA = 4.OB
hay : úxú = 4.úyú Û x = ±4y Û = k 
(Với k là hệ số góc của đường thẳng (d) qua M và thỏa điều kiện đề bài).
Đường thẳng qua M(2 ; -1) có hệ số góc k và thỏa điều kiện đề bài là : 
 (d1) : và (d2) : y = 
Bài 4: (4,00 điểm) 
1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.
Ta có : = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))
 (vì AB ^CD tạo O)
 Suy ra: + = 1800
Þ tứ giác AOMN nội tiếp.
2) Chứng minh : ND là phân giác của .
Ta có : AB, CD là đường kính của (O).
 AB ^ CD (gt) Þ Þ Þ ND là phân giác của góc ANB.
3) Tính: 
Do DBOM # DBNA (gg) 
Þ Þ BM.BN = BO.BA=3.6=18 Þ cm
4) Ta có: D EAF vuông tại A (, E ÎAC, FÎ AD) có M là trung điểm của EF Þ MA = ME = MF Þ M là tâm của đường tròn qua M có bán kính MA Þ Điểm E, F là giao điểm của đường tròn (M; MA) với AC và AD.
 	Ta có: AM = BM ( vì M nằm trên CD là trung trực của AB)
	 Þ MA = MB = ME = MFÞ tứ giác AEBF nội tiếp Þ 
 	Ta lại có: = 900, 
suy ra: 
Xét tam giác BDF và tam giác BCE, ta có: BC = BD ;  ; = 900 nên DBDF = DBCE(gcg) ÞDF = CE
 Vậy : AE + AF = (AC + CE) + AF=AC+(CE+AF) = AC + (DF+AF) = AC+ AD=2AD
Mà DOAD vuông cân tại O nên AD = 
Þ AE + AF = . 
Vậy tổng AE + AF không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
 (GV Lê Quốc Dũng, THCS Trần Hưng Đạo, Nha Trang)