Đề thi và đáp án tuyển sinh vào lớp 10 THPT (Bắc Ninh) năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán (dành cho tất cả thí sinh)

UBND tỉnh bắc ninh
Sở giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh)
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 30 tháng 06 năm 2012
Bài 1 (2,0điểm)
	1) Tỡm giỏ trị của x để cỏc biểu thức cú nghĩa:
 ; 
	2) Rỳt gọn biểu thức: 
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho phương trỡnh: mx2 – (4m -2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số).
	1) Giải phương trỡnh (1) khi m = 2.
	2) Chứng minh rằng phương trỡnh (1) luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m.
3) Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú cỏc nghiệm là nghiệm nguyờn.
Bài 3 (2,0 điểm)
	Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh:
	Một mảnh vườn hỡnh chữ nhật cú chu vi 34m. Nếu tăng thờm chiều dài 3m và chiều rộng 2m thỡ diện tớch tăng thờm 45m2. Hóy tớnh chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.
Bài 4 (3,0 điểm)
	Cho đường trũn O. Từ A là một điểm nằm ngoài (O) kẻ cỏc tiếp tuyến AM và AN với (O) ( M; N là cỏc tiếp điểm ).
	1) Chứng minh rằng tứ giỏc AMON nội tiếp đường trũn đường kớnh AO.
	2) Đường thẳng qua A cắt đường trũn (O) tại B và C (B nằm giữa A và C ). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh I cũng thuộc đường trũn đường kớnh AO.
	3) Gọi K là giao điểm của MN và BC . Chứng minh rằng AK.AI = AB.AC.
Bài 5 (1,0 điểm)
	Cho cỏc số x,y thỏa món x 0; y 0 và x + y = 1.
Tỡm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = x2 + y2.
 --------------------- Hết --------------------
Cõu 1: 
a) cú nghĩa 3x – 2 
 cú nghĩa 
b) 
 Cõu 2: 
1.Thay m = 2 vào pt ta cú: 
Ta thấy: 1 – 3 +2 = 0 nờn pt cú 2 nghiệm: 
2. * Nếu m = 0 thỡ . 
Suy ra: Pt luụn cú nghiệm với m=0
*Nếu m 0 thỡ ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. 
Ta cú: 
Kết luận: Kết hợp 2 trường hợp ta cú: pt luụn cú nghiệm với mọi m (đpcm)
3. * Nếu m = 0 thỡ nguyờn 
Suy ra: Với m = 0 pt cú nghiệm nguyờn 
* Nếu m # 0 thỡ ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Từ ý 2 ta cú: pt cú 2 nghiệm: 
Để pt (1) cú nghiệm nguyờn thỡ nghiệm phải nguyờn hay m là ước của 2 m = {-2; -1; 1; 2}
Kết luận: Với m = {} thỡ pt cú nghiệm nguyờn
Cõu 3: 
Gọi chiều dài hcn là x (m); chiều rộng là y (m) (0 < x, y < 17)
Theo bài ra ta cú hpt : (thỏa món đk)
Vậy : chiều dài = 12m, chiều rộng = 5m
Cõu 4 : 
Theo tớnh chất tiếp tuyến vuụng gúc với bỏn kớnh 
tại tiếp điểm ta cú : 
 vuụng tại M A, M , O thuộc đường trũn 
đường kớnh AO ( Vỡ AO là cạnh huyền)
 vuụng tại N A, N, O thuộc đường trũn 
đường kớnh AO (Vỡ AO là cạnh huyền)
Vậy: A, M, N, O cựng thuộc đường trũn đường kớnh AO 
Hay tứ giỏc AMNO nội tiếp đường trũn đường kớnh AO
Vỡ I là trung điểm của BC (theo gt) (tc)
 vuụng tại I A, I, O thuộc đường trũn 
đường kớnh AO (Vỡ AO là cạnh huyền)
Vậy I cũng thuộc đường trũn đường kớnh AO (đpcm)
Nối M với B, C. 
Xột cú chung
	 sđ
 (g.g) (1)
Xột cú chung
	 (Vỡ: cựng chắn 
 và )
(g.g) (2)
Từ (1) và (2) ta cú: AK.AI = AB.AC (đpcm)
Cõu 5:
* Tỡm Min A
 Cỏch 1: 
Ta cú: 
Cộng vế với vế ta cú: 
Vậy Min A = . Dấu “=” xảy ra khi x = y = 
Cỏch 2
 Từ Thay vào A ta cú : 
Dấu ô = ằ xảy ra khi : x = y = 
Vậy Min A = Dấu “=” xảy ra khi x = y = 
* Tỡm Max A
Từ giả thiết suy ra 
Vậy : Max A = 1 khi x = 0, y
GIẢI CÂU 05 
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MễN TOÁN BẮC NINH
2012-2013
=====================================
CÂU 05 : 
Cho cỏc số x ; y thoả món x và x+ y = 1 
.Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2
I- TèM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
CÁCH 01 : 
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta cú x + y = 1 nờn y = - x + 1 thay vào A = x2 + y2 ta cú : 
x2 + ( -x + 1)2 - A = 0 hay 2x2 - 2x + ( 1- A) = 0 (*) 
do đú để biểu thức A tồn tại giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất khi và chỉ khi phương trỡnh (*) cú nghiệm hay .Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là khi phương trỡnh (*) cú nghiệm kộp hay x = mà x + y = 1 thỡ y = . Vậy Min A = 1/2 khi x = y = 1/2 ( t/m)
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 02 :
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
 Theo Bất đẳng thức Bunhia ta cú 1 = x + y hay
 1= (x + y)2 . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y mà x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m) 
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 03 : 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Khụng mất tớnh tổng quỏt ta đặt với 
Mà A= x2 + y2 . Do đú A = ( 1- m)2 + m2 hay A= 2m2 - 2m +1 
hay 2A = (4m2 - 4m + 1) + 1 hay 2A = (2m- 1)2 + 1 hay . 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi m= 1/2 hay x = y = 1/2.
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A.
CÁCH 04 :
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta cú A = x2 + y2 = ( x+ y)2 - 2xy = 1 -2xy ( vỡ x + y =1 )
 mà xy .
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2. 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A.
CÁCH 05 : 
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Xột bài toỏn phụ sau : Với a , b bất kỡ và c ; d > 0 ta luụn cú :
(*) , dấu “=” xảy ra khi 
Thật vậy : cú (ĐPCM)
.ÁP DỤNG 
Cho a = x và b = y ,từ (*) cú : A= x2 + y2 = mà x+ y =1 
Nờn A .Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 06 :
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta cú A = x2 + y2 hay xy = (*) mà x + y =1 (**) 
Vậy từ (*) ;(**) cú hệ phương trỡnh ,hệ này cú nghiệm . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x+ y =1 và x2 + y2 = hay x = y = 1/2. 
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 07 :
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta cú A = x2 + y2 = x2 + y2 + 1 - 1 mà x + y =1 nờn A = x2 + y2 - x - y -1
Hay A = . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2. 
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 08 : 
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta cú A= x2 + y2 = 
Mà x + y =1 nờn A . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2. khi x = y = 1/2. 
b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 09 : 
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta cú x + y = 1 là một đường thẳng , cũn x2 + y2 = A là một đường trũn cú tõm là gốc toạ độ O bỏn kớn mà x thuộc gúc phần tư thứ nhất của đường trũn trờn . Do đú để tồn tại cực trị thỡ khoảng cỏch từ O đến đường thẳng x + y =1 phải nhỏ hơn hay bằng bỏn kớn đường trũn hay A . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2.
b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 10 : 
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta cú x + y =1 . Vậy để chứng minh A 
với A = x2 + y2 thỡ ta chỉ cần chứng minh . 
Thật vậy :
Ta cú 0 
Hay ( luụn đỳng ) Vậy A . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y =1/2. 
b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 11 : 
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Khụng mất tớnh tổng quỏt ta đặt 
.Do đú A = x2 + y2 hay (2-m)2 + (m-1)2 - A =0 hay 2m2 - 6m +5 = A 
Hay . 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 12 : 
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Khụng mất tớnh tổng quỏt ta đặt 
.Do đú A = x2 + y2 hay (3-m)2 + (m-2)2 - A =0 hay 2m2 - 10m +13 = A 
Hay . 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 13 : 
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta cú x + y =1 hay (x+1) + (y +1) = 3 mà A = x2 + y2 hay 
A = (x2 + 2x + 1) + ( y2 + 2y +1) - 4 hay A = (x+1)2 + ( y+1)2 - 4
,do đú ta đặt . Khi ta cú bài toỏn mới sau :
Cho hai số a , b thoả món và a + b =3 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = a2 + b2 - 4
Thật vậy : Ta cú A = a2 + b2 - 4 = (a+b)2 - 2ab - 4 = 5 - 2ab ( vỡ a+b=3)
Mặt khỏc theo cụsi cú : do đú A . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 14 : 
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Khụng mất tớnh tổng quỏt ta đặt 
 ( với a > b vỡ a - b =1 hay a = b+ 1 hay a > b )
.Do đú A = x2 + y2 hay (a-m)2 + (m-b)2 - A =0 hay
 2m2 - 2m (a+b) +(a2 + b2) = A hay 
Hay 
(Vỡ a - b= 1)
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 15 : 
a)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta cú x + y =1 hay y = 1 - x mà y 
Do đú x2 + y2 - A = 0 hay 2 x2 - 2x +( 1 - A ) = 0 .
Khi đú ta cú bài toỏn mới sau :
Tỡm A để phương trỡnh 2 x2 - 2x +( 1 - A ) = 0 (*) cú nghiệm 
Với x1 ; x2 là nghiệm của phương trỡnh (*)
Thật vậy để phương trỡnh (*) cú nghiệm 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2.
b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A . 
Vậy theo trờn ta cú giỏ trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0 .
II- TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 
CÁCH 01 : 
Vậy theo trờn ta cú giỏ trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0
CÁCH 02 : 
Ta cú A = x2 + y2 hay xy = (*) vỡ x + y =1 mà x 
Do đú theo (*) cú A . Vậy giỏ trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0
CÁCH 03 : 
Khụng mất tớnh tổng quỏt ta đặt 
Do đú A = . 
Vậy giỏ trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0