Đề thi và đáp án tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hưng Yên năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán

Sở giáo dục và đào tạo
Hưng yên
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề thi có 01 trang)
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
Cho A =. Chứng minh A là một số tự nhiờn.
Giải hệ phương trỡnh 
Bài 2: (2 điểm)
Cho Parbol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m +2)x – m + 6. Tỡm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ dương.
Giải phương trỡnh: 5 + x + 
Bài 3: (2 điểm)
Tỡm tất cả cỏc số hữu tỷ x sao cho A = x2 + x+ 6 là một số chớnh phương.
Cho x > 1 và y > 1. Chứng minh rằng : 
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giỏc ABC nhọn nội tiếp đường trũn tõm O, đường cao BE và CF. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S, gọi BC và OS cắt nhau tại M
Chứng minh AB. MB = AE.BS
Hai tam giỏc AEM và ABS đồng dạng
Gọi AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P. CMR NP vuụng gúc với BC
Bài 5: (1 điểm)
Trong một giải búng đỏ cú 12 đội tham dự, thi đấu vũng trũn một lượt (hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đỳng một trận).
a) Chứng minh rằng sau 4 vũng đấu (mỗi đội thi đấu đỳng 4 trận) luụn tỡm được ba đội búng đụi một chưa thi đấu với nhau.
b) Khẳng định trờn cũn đỳng khụng nếu cỏc đội đó thi đấu 5 trận?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2 điểm)
Cho A =
Đặt 2012 = a, ta cú 
Đặt Ta cú 
nờn 
Bài 2: 
	a) ycbt tương đương với PT x2 = (m +2)x – m + 6 hay x2 - (m +2)x + m – 6 = 0 cú hai nghiệm dương phõn biệt.
b) Đặt t = 
Bài 3: 
 x = 0, x = 1, x= -1 khụng thỏa món. Với x khỏc cỏc giỏ trị này, trước hết ta chứng minh x phải là số nguyờn.
+) x2 + x+ 6 là một số chớnh phương nờn x2 + x phải là số nguyờn.
+) Giả sử với m và n cú ước nguyờn lớn nhất là 1.
Ta cú x2 + x = là số nguyờn khi chia hết cho n2 
nờn chia hết cho n, vỡ mn chia hết cho n nờn m2 chia hết cho n và do m và n cú ước nguyờn lớn nhất là 1, suy ra m chia hết cho n( mõu thuẫn với m và n cú ước nguyờn lớn nhất là 1). Do đú x phải là số nguyờn.
Đặt x2 + x+ 6 = k2 
Ta cú 4x2 + 4x+ 24 = 4 k2 hay (2x+1)2 + 23 = 4 k2 tương đương với 4 k2 - (2x+1)2 = 23
= . 
Theo BĐT Cụsi 
Bài 4 
P
N
F
E
M
S
O
A
B
C
Q
Suy ra từ hai tam giỏc đồng dạng là ABE và BSM
Từ cõu a) ta cú (1)
Mà MB = EM( do tam giỏc BEC vuụng tại E cú M là trung điểm của BC
Nờn 
Cú 
Nờn do đú 
Suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai tam giỏc AEM và ABS đồng dạng(đpcm.)
Dễ thấy SM vuụng gúc với BC nờn để chứng minh bài toỏn ta chứng minh NP //SM.
+ Xột hai tam giỏc ANE và APB:
Từ cõu b) ta cú hai tam giỏc AEM và ABS đồng dạng nờn ,
Mà ( do tứ giỏc BCEF nội tiếp)
Do đú hai tam giỏc ANE và APB đồng dạng nờn 
Lại cú ( hai tam giỏc AEM và ABS đồng dạng)
Suy ra nờn trong tam giỏc AMS cú NP//SM( định lớ Talet đảo)
Do đú bài toỏn được chứng minh.
Bài 5
a. Giả sử kờ́t luọ̃n của bài toán là sai, tức là trong ba đụ̣i bṍt kỳ thì có hai đụ̣i đã đṍu với nhau rụ̀i. Giả sử đụ̣i  đã gặp các đụ̣i 2, 3, 4, 5. Xét các bụ̣ (1; 6; i) với i Є{7; 8; 9;;12}, trong các bụ̣ này phải có ít nhṍt mụ̣t cặp đã đṍu với nhau, tuy nhiờn 1 khụng gặp 6 hay i nờn 6 gặp i với mọi i Є{7; 8; 9;;12} , vụ lý vì đụ̣i 6 như thờ́ đã đṍu hơn 4 trọ̃n. Vọ̃y có đpcm.
 	b. Kết luọ̃n khụng đúng. Chia 12 đụ̣i thành 2 nhóm, mụ̃i nhóm 6 đụ̣i. Trong mụ̃i nhóm này, cho tṍt cả các đụ̣i đụi mụ̣t đã thi đṍu với nhau. Lúc này rõ ràng mụ̃i đụ̣i đã đṍu 5 trọ̃n. Khi xét 3 đụ̣i bṍt kỳ, phải có 2 đụ̣i thuụ̣c cùng mụ̣t nhóm, do đó 2 đụ̣i này đã đṍu với nhau. Ta có phản ví dụ.
Có thờ̉ giải quyờ́t đơn giản hơn cho cõu a. như sau:
Do mụ̃i đụ̣i đã đṍu 4 trọ̃n nờn tụ̀n tại hai đụ̣i A, B chưa đṍu với nhau. Trong các đụ̣i còn lại, vì A và B chỉ đṍu 3 trọ̃n với họ nờn tụ̉ng sụ́ trọ̃n của A, B với các đụ̣i này nhiờ̀u nhṍt là 6 và do đó, tụ̀n tại đụ̣i C trong sụ́ các đụ̣i còn lại chưa đṍu với cả A và B. Ta có A, B, C là bụ̣ ba đụ̣i đụi mụ̣t chưa đṍu với nhau.