Đề thi và đáp án tuyển sinh vào lớp 10 THPT Tuyên Quang năm học 2011 - 2012 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
Năm học 2011 - 2012
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
c) Giải phương trình: 
Câu 2 (2,5 điểm)
 Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/giờ.
Câu 3 (2,5 điểm)
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm M, N sao cho M, O, N không thẳng hàng. Hai tiếp tuyến tại M , N với đường tròn (O) cắt nhau tại A. Từ O kẻ đường vuông góc với OM cắt AN tại S. Từ A kẻ đường vuông góc với AM cắt ON tại I. Chứng minh:
a) SO = SA
b) Tam giác OIA cân
Câu 4 (2,0 điểm). 
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0
b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong. Biết AB = 5 cm, IC = 6 cm. Tính BC.
Hướng dẫn chấm, biểu điểm
MÔN THI: TOÁN CHUNG
Nội dung
Điểm
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình: 
1,0
Bài giải: Ta có 
0,5
Phương trình có nghiệm: 
0,5
b) Giải hệ phương trình: 
1,0
Bài giải: Cộng (1) và (2) ta có: 4x - 3y + 3y + 4x = 16 8x = 16 x = 2
0,5
Thay x = 2 vào (1): 4. 2 – 3y = 6 y = . Tập nghiệm: 
0,5
c) Giải phương trình: (3) 
1,0
Bài giải: Ta có 
0,5
Mặt khác: 
Vậy: (3) . Phương trình vô nghiệm 
0,5
Câu 2 (2,5 điểm )
2,5
Bài giải: Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x km/giờ ( x > 4)
0,5
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x +4 (km/giờ), khi ngược dòng là x - 4 (km/giờ). Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là giờ, đi ngược dòng
 từ B đến A là giờ.
0,5
Theo bài ra ta có phương trình: (4)
0,5
 hoặc x = 16. Nghiệm x = -1 <0 nên bị loại
0,5
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 16km/giờ.
0,5
Câu 3 (2,5 điểm) 
0,5
a) Chứng minh: SA = SO
1,0
Vì AM, AN là các tiếp tuyến nên: (1)
0,5
Vì MA//SO nên: (so le trong) (2) 
0,5
Từ (1) và (2) ta có: SAO cân SA = SO (đ.p.c.m)
b) Chứng minh tam giác OIA cân 
1,0
Vì AM, AN là các tiếp tuyến nên: (3)
0,5
Vì MO // AI nên: góc MOA bằng góc OAI (so le trong) (4)
0,5
Từ (3) và (4) ta có: OIA cân (đ.p.c.m)
Câu 4 (2,0 điểm). 
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 (1)
1,0
Bài giải: (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0
0,5
 (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0
 (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2)
Vì - (x + y)2 0 với mọi x, y nên: (y - 1)(y + 4) 0 -4 y 1
0,5
Vì y nguyên nên y 
Thay các giá trị nguyên của y vào (2) ta tìm được các cặp nghiệm nguyên (x; y) của PT đã cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1). 
b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong. Biết AB = 5 cm, IC = 6 cm. Tính BC.
0,5
Bài giải: 
Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BI, E là giao điểm của AB và CD.BIC có là góc ngoài nên: = 
 vuông cân DC = 6 : 
Mặt khác BD là đường phân giác và đường cao nên tam giác BEC cân tại B EC = 2 DC = 12: và BC = BE
Gọi x = BC = BE. (x > 0). Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông ABC và ACE ta có: AC2 = BC2 – AB2 = x2 – 52= x2 -25
 EC2 = AC2 + AE2 = x2 -25 + (x – 5)2 = 2x2 – 10x
 (12: )2 = 2x2 – 10x
 x2 - 5x – 36 = 0 
Giải phương trình ta có nghiệm x = 9 thoả mãn. Vậy BC = 9 (cm)
O,5