Đề thi vào 10 THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa từ năm 2003 đến 2010 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2003-2004
Đề chính thức
	 MÔN: THI TOÁN	
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
	Ngày thi: 27 tháng 6 năm 2003
Bài 1. (2 điểm)
 Cho 
	a, Hãy rút gọn biểu thức A
	b, Tìm x thoả mãn .
Bài 2. (2 điểm)
 Cho phương trình: x2 - 4( m – 1 )x + 4m – 5 = 0. (1)
	a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn .
	b, Tìm m để P = có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (2,5 điểm)
 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O và đường kính DE vuông góc với BC. Gọi D1E1 và D2E2 là hình chiếu vuông góc của DE trên AB và AC.
Chứng minh BE1 = E2C = AD1; D1E1 = AC và D2E2 = AB. 
Các tứ giác AD1DD2 ; AE1EE2 nội tiếp trong một đường tròn và D1D2 vuông góc với E1E2. 
Bài 4. (2 điểm)
 Cho hình chopSABC có SA AB; SA AC; BA BC; BA = BC; AC = ; SA = 2a.
	a, Chứng minh BC mp(SAB)
	b, Tính diện tích toàn phần của chóp SABC.
Bài 5. (1,5 điểm)
 Cho các số thực a1; a2; .; a2003 thoả mãn: a1 + a2 + + a2003 = 1. 
Chứng minh: .
--------------------------------------------- Hết ------------------------------------------------
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2004-2005
Đề chính thức
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------------------
Bài 1. (2 điểm)
 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 2x2 + 2mx + m2 – 2 = 0.
Với giá trị nào của m thì: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = .
Bài 2. (1,5 điểm)
 Giải phương trình: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 120.
Bài 3. (2 điểm)
 Giải hệ phương trình: .
Bài 4. (3,5 điểm)
 Cho M là điểm thay đổi trên đường tròn (O), đường kính AB. Đường tròn (E) tâm E tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M và AB tại N. Đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (E) tại các điểm thứ hai C và D khác M.
Chứng minh CD song song với AB.
Gọi giao điểm của MN với đường tròn (O) là K (K khác M). Chứng minh rằng khi M thay đổi thì điểm K cố định và tích KM.KN không đổi.
Gọi giao điểm của CN với KB là C và giao điểm của DN với KA là D. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NCD nhỏ nhất.
Bài 5. (1 điểm)
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = .
---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------------
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2004-2005
Đề chính thức
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (1,0 điểm)
 Cho hai phương trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0. Biết hai phương trình có nghiệm chung và nhỏ nhấ. Tìm a và b.
Bài 2. (2 điểm)
 Giải phương trình: .
Bài 3. (2,5 điểm)
Giải hệ phương trình: .
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21.
Bài 4. (2,5 điểm)
 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O. M là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M là điểm đối xứng với M qua O. Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM lần lượt tại E và F.
Chứng minh tứ giác BCÈ nội tiếp được trong đường tròn.
Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
 Chứng minh: IB.IC = 2r.IM. 
Bài 5. (2 điểm)
	1. Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện : , và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
	2. Trong mặt phẳng (P) cho ba tia chung gốc và phân biệt Ox, Oy, Oz. Tio Ot không thuộc (P) và . Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P).
--------------------------------------------- Hết -------------------------------------------------
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2004-2005
Đề chính thức
MÔN: TOÁN CHUNG
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2 điểm)
Giải phương trình: 
Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a0) luôn có hai nghiệm phân biệt. Biết rằng 5a – b + 2c = 0.
Bài 2. (2,5 điểm)
 Cho hệ phương trình: (m là tham số)
Giải hệ phương trình với m = -1.
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 3. (3 điểm)
 Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộccạnh AB (M khác A và B). Tia CM cắt tia DA tại N. BVẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E. Gọi H là trung điểm của đoạn NE.
Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn. 
Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD.
Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi.
Bài 4. (1,5 điểm)
 Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
Chứng minh MN vuông góc với AB và CD.
Với giá trị nào của x thì thể tích hình chóp A.BCD lớn nhất.
Bài 5. (1 điểm)
 Cho các số dương a, b, c thay đổi và thoả mãn: a + b + c = 4. Chứng minh: .
------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2005-2006
Đề chính thức
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga, Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
 Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + m – 6 = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: 3x1 + 2x2 = 5.
Bài 2: (1,5 điểm)
 Cho hai số thực dương x, y thoả mãn điều kiện: 2x2 – 6y2 = xy. Tính giá trị của biểu thức: A = .
 Bài 3: (2 điểm)
 Giải hệ phương trình: .
Bài 4: (3,5 điểm)
 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và P là điểm di động trên đường tròn (P A) sao cho PA PB. Trên tia đối PB lấy điểm Q sao cho PQ = PA, dựng hình vuông APQR. Tia PR cắt đường tròn đã cho ở điểm C (C P).
Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp AQB.
Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp APB, chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp AQB.
Kẻ đường cao PH của APB, gọi R1, R2, R3 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp APB, APH và BPH. Tìm vị trí điểm P để tổng R1 + R2 + R3 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
 Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 3. 
 Chứng minh rằng a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 .
------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2005-2006
Đề chính thức
	 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
 Cho biểu thức: M = .
	1. Rút gọn M.
	2.Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 2: (2 điểm)
 Giải hệ phương trình: .
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2 + 5y2 – 4xy – x + 2y – 6 = 0. Chứng minh: .
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y3 – x3 = 2x + 1.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho ABC có diện tích là 32 cm2, tổng độ dài hai cạnh AB và BC bằng 16 cm. Tính độ dài cạnh AC.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC) có đường cao AM và trung tuyến BO. Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia BO tại điểm D. Gọi các điểm N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng BD, CD.
Chứng minh: NA2 = NP.NM
Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn.
Bài 5: (1 điểm)
 Tìm các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện:
----------------------------------------------Hết-------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2005-2006
Đề chính thức
	 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
Cho biểu thức P(x) = Gọi x1 , x2 là các nghiểm của phương trình x2 – x – 1 = 0. Chứng minh: .
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x2 + 14 y2 + 13xy = 330.
Bài 2: (2,0 điểm)
 Giải hệ phương trình: 
Bài 3: (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: .
Cho ba số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thoả mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: . Dấu " = " xảy ra khi nào?
Bài 4: (2,0 điểm)
 Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC. CA lần lượt tại các điểm M, N, P.
Xét trường hợp AB < AC, gọi D là giao điểm của các tia AO và MN. Chứng minh AD DC.
Gọi (T) là tam giác có các đỉnh là M, N, P, Giả sử (T) đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. Tính k?
Bài 5: (1,5 điểm)
 Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD. Tiếp tuyến (d1) với đường tròn cắt các cạnh AB, AD lần lượt tại các điểm M, P. Tiếp tuyến (d2) với đường tròn cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại các diểm N, Q. Chứng minh MN // PQ.
-----------------------------------------------Hết------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2007-2008
Đề chính thức
	 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang	Ngày thi:  tháng 6 năm 2007
Bài 1: (1,5 điểm) 
Giải hệ phương trình: .
Bài 2: (2,0 điểm) 
 Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi đấu thủ của trường A thi đấu với mỗi đấu thủ của trường B một trận.
 Biết rằng: Tổng số trận đấu bằng 4 lần cầu thủ, số cầu thủ của trường B là số lẻ. Tính số cầu thủ của mỗi đội.
Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn tâm O. C là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm trên đoạn AB. Tia CM cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng:
AC2 = CM.CD
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc đường tròn côc định.
Gọi R1 , R2 theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ADM và BDM. Chứng minh R1 + R2 không đổi.
Bài 4: (2 điểm)
 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho : A(0; 3), B(4; 0), C(5; 3/4) cùng với O(0; 0) tạo thành tứ giác AOBC. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, chia tứ giác AOBC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 5: ( 1,5 điểm)
 Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn . Chứng minh rằng tích abc là lập phương của một số nguyên.
-------------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2008-2009
Đề chính thức
	 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang	Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008
Câu 1: (1,5 điểm) 
 Cho phương trình : 4x2 + x - = 0 	(1)
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái dấu.
Gọi x1 là nghiệm dương của phương trình (1). Chứng minh rằng: 
Câu 2: (2,0 điểm)
 Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi a = 1, b=2.
Tìm a sao cho hệ có nghiệm với mọi giá trị của b.
Câu 3: (1,5 điểm)
 Cho phương trình: (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m. (2)
 Tìm m sao cho phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn: .
Câu 4: (4,0 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm, K là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Hai trung tuyến AM và HN của tam giác AHC cắt nhau tại I. Hai đường trung trực của các đoạn thẳng AC và HC cắt nhau tại J.
Chứng minh rằng tam giác AHB và tam giác MNJ đồng dạng
Chứng minmh rằng: KH.KA 
Tính tỉ số .
Câu 5: (1,0 điểm)
 Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x4 + y4 – 7 = xy(3 - 2xy). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích xy.
-------------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2008-2009
Đề chính thức
	 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang	Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008
Câu 1: (2,0 điểm) 
 Tính giá trị của biểu thức M = , 
 biết rằng: và 
Câu 2: (2,0 điểm)
 Cho các số thực a, b, c thoả mãn . 
 Chứng minh rằng cả ba số đều dương.
Câu 3: (2,0 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Tính góc MCN.
Câu 4: (2,0 điểm) 
 Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm D di động trên cạnh AC, điểm E di động trên tia đối của tia CB sao cho AD.BE = a2 . Các đường thẳng AE và BD cắt nhau tại M. Chứng minh: MA + MC = MB.
Câu 5: (2,0 điểm) 
 Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x2 + y2 + 6 chia hết cho xy. Tìm thương của phép chia x2 + y2 + 6 cho xy.
-------------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------
Họ và tên thí sinh: .. Số báo danh: ..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2009-2010
Đề chính thức
	 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
	Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm) 
 Cho T = .
Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T.
Tìm giá trị lớn nhất của T.
Câu 2: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình: .
Giải phương trình: 
Câu 3: (2,0 điểm) 
Tìm các số nguyên a để phương trình: x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.
Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện: . Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phưông trình sau có nghiệm
 	x2 – 2(a + 1)x + a2 + 6abc + 1 = 0
	x2 – 2(b + 1)x + b2 + 19abc + 1 = 0
Câu 4: (3,0 điểm)
 Cho tam gi ác ABC c ó ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tòn tâm O đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. 
Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình chứ nhật.
Gọi P và Q lần lượt là các diểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu 5: (1,0 điểm) 
 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có : .
-------------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------
Họ và tên thí sinh: .. Số báo danh: ..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2009-2010
Đề chính thức
	 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
	Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm) 
Cho số x () thoả mãn điều kiện : . Tính giá trị các biểu thức : A = và B = .
Giải hệ phương trình: 
Câu 2: (2,0 điểm)
 Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Câu 3: (2,0 điểm) 
Giải phương trình: .
Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm) 
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK BN.
Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = . Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có số đo bằng 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng .
Câu 5: (1,0 điểm) 
 Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đó ad – bc = 1. Chứng minh rằng: P .
-------------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------
Họ và tên thí sinh: .. Số báo danh: ..