Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2013-2014 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÒA LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HÓA NĂM HỌC 2013-2014
 Môn: Toán 
 ĐỀ CHÍNH THỨC ( Dành cho thí sinh thi chuyên tiếng Nga và Pháp)
 Thời gian làm bài : 150 phút
 Ngày thi: 25/6/2013
Câu 1: (2Điểm) : 
 Cho biểu thức: P=
 a) Rút gọn A; 
 b) Tìm a sao cho P=
Câu 2: (2điểm)
 Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol y=x2 và đường thẳng y= mx- (m-2)2
 Với m là tham số .
xác định M để đường thẳng và parabol có điểm chung.
 Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x1; x2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : Q= x1x2 +2x1 +2x2 
Câu 3:(2điểm) 
 Giải phương trình : (x2 +3x +3)2 +( x2+3x +5)4 =82
Câu 4 :(3 điểm ) 
 Cho Tam giác đều ABC , Trên các cạnh BC; CA; AB lần lượt lấy các điểm 
 M,N,P Sao cho BM=CN=AP
Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP trùng nhau.
Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng
Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các điểm M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện : 
 x2013 +y2013 =2x1006y1006 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S=1-xy
- - Hết- - - 
 Họ tên thí sinh: ..................................... Số báo danh:...............................
Chữ ký của giám thị số 1 ............................ Chữ ký giám thị số 2: .........................
Hướng dẫn giải câu khó đề chuyên nga-pháp năm 2013-2014: 
 Câu 3: (2điểm)
 Đặt x2 +3x +3 = y ( y ) ta có phương trình 
 t4 +8t3+25t2 +32t -66 =0 (t-1)(t3+ 9t2 +34t +66) =0
 vì t nên t3+ 9t2 +34t +66 >0 buộc t-1=0 suy ra t =1 từ đó tìm được x=-1 và x=-2
 Câu 4:
Lưu ý rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cũng là trọng 
tâm của nó 
hãy thực hiện các bước sau: 
 chứng minh: tam giác MNP đều
-kẻ MF// AC ( như hình vẽ) NE là trung tuyến 
Q
- chứng minh: PF= AN suy ra JE//= AN 
 Nhờ Ta lét Suy ra 
 từ đó suy ra O là trọng tâm trung của hai tam giác đều suy ra điều cần chứng minh.
b) Kẻ PQ ?? AB ( Q AC) chứng minh cho CQ= AN suy ra KN= KQ
 mà KJ // MQ nên KJ đi qua trung điểm I của MN
C)Đặt thì từ đó tính được
 SMNP= SABC -3k(1-k).SABCSABC =SABC dấu bằng xảy ra khi k=1-k hay k= 1/2
 vậy suy ra đẳng thức xảy ra khi k=1/2 khi đó M; N là trung điểm của BC và CA
 Câu 5:
xy=0 suy ra S=1
 x.y 0 Ta có ( vì (a+b)2 )
 nên xy dấu bằng xảy ra khi x=y=1 nên S Đẳng thức xảy ra khi x=y=1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra Min S =0 khi x=y=1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÒA LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HÓA NĂM HỌC 2013-2014
 Môn: Toán 
 ĐỀ CHÍNH THỨC ( Dành cho thí sinh thi chuyên tiếng Nga và Pháp)
 Thời gian làm bài : 150 phút
 Ngày thi: 25/6/2013
Câu 1: (2Điểm) : 
 Cho biểu thức: P=
 a) Rút gọn A; 
 b) Tìm a sao cho P=
Câu 2: (2điểm)
 Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol y=x2 và đường thẳng y= mx- (m-2)2
 Với m là tham số .
xác định M để đường thẳng và parabol có điểm chung.
 Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x1; x2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : Q= x1x2 +2x1 +2x2 
Câu 3:(2điểm) 
 Giải phương trình : (x2 +3x +3)2 +( x2+3x +5)4 =82
Câu 4 :(3 điểm ) 
 Cho Tam giác đều ABC , Trên các cạnh BC; CA; AB lần lượt lấy các điểm 
 M,N,P Sao cho BM=CN=AP
Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP trùng nhau.
Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng
Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các điểm M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện : 
 x2013 +y2013 =2x1006y1006 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S=1-xy
- - Hết- - - 
 Họ tên thí sinh: ..................................... Số báo danh:...............................
Chữ ký của giám thị số 1 ............................ Chữ ký giám thị số 2: .........................