Đề thi vào lớp 10 chuyên toán - Tin trường thpt hà nội - amsterdam (thời gian làm bài: 150 phút)

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯỜNG THPT HÀ NỘI - AMSTERDAM
(Thời gian làm bài: 150 phút) GIÁO VIÊN, GIA SƯ LÂU NĂM NHẬN:ÔN THI CẤP 3 VÀ ĐẠI HỌC CẤP TỐC 
LIÊN HỆ: THÀY HƯNG .MOBILE: 01234782728
 Câu 1. (2 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n5+5n3−6n chia hết cho 30.
2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn n(n+1)+6 không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2n2+n+8 không phải là số chính phương.
Câu 2. (2 điểm)
Giải hệ phương trình sau x−2y−2/x +1=0
 x2−4xy+4y2−4/x2+1=0
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2xy−yz−zx.
Câu 3. (3 điểm)Cho đường tròn (O,R) và dây cung BC cố định (BC<2R). Một điểm A di động trên đường tròn (O,R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi AD là đường cao và H là trực tâm  của tam giác ABC.
1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài gãc BHC cắt AB,AC lần lượt tại M và  N. Chứng minh rằng tam giác AMN cân.
2. Gọi E,F là hình chiếu của D lên BH,CH. Chứng minh rằng OA vuông góc với EF.
3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong gãc BAC tại K. Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4. (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn (x+1)(y+z)=xyz+2
Câu 5. (2 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R=2cm. Chứng minh rằng trong số 17 điểm A1,A2,...,A17 bất kì nằm trong  tứ giác ABCD  luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.
GIÁO VIÊN, GIA SƯ LÂU NĂM NHẬN:ÔN THI CẤP 3 VÀ ĐẠI HỌC CẤP TỐC HIỆU QUẢ MÔN TOÁN CÁC KHỐI 2013
LIÊN HỆ: THÀY HƯNG .MOBILE: 01234782728