Đề Toán thi vào lớp 10

Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 1
ĐỀ TOÁN THI VÀO LỚP 10 
 Mấy năm gần đây nhu cầu thi vào các lớp 10 chuyên của học 
sinh ngày càng nhiều. Điều các học sinh quan tâm là cách thức ra đề 
cũng như yêu cầu kiến thức của từng trường như thế nào. Để đáp ứng 
nhu cầu đó chúng tôi xin giới thiệu tập tài liệu tham khảo: Bộ đề thi 
tuyển sinh vào các lớp 10 trường chuyên trên địa bàn thành phố Hồ 
Chí Minh. 
Đây là bộ đề thi môn toán tuyển sinh vào lớp 10 các trường phổ 
thông trung học chuyên trên phạm vi thành phố. Trong đó chủ yếu là 
các đề thi vào các trường chuyên Lê Hồng Phong, Trần Đại Nghĩa, 
trường Phổ Thông Năng Khiếu – ĐHQG TPHCM và Lớp chuyên toán 
của trường Trung Học Thực Hành – ĐHSP TPHCM. Kể từ năm học 
2006 – 2007 thì đề thi vào 10 lớp bình thường cũng như các lớp 
chuyên của trường LHP và TĐN là đề thi chung do thành phố ra, còn 
các trường THTH và PTNK vẫn tuyển riêng. Bộ đề này chỉ gồm các đề 
thi bắt đầu từ năm học 2001 – 2002 đến nay. 
Hi vọng rằng đây là bộ tài liệu tham khảo hữu ích cho các em 
học sinh chuẩn bị thi vào các lớp 10 chuyên cũng như các thầy cô giáo 
quan tâm đến kì thi này. 
Trong quá trình soạn thảo không tránh những sai sót, mong các 
bạn thông cảm và gửi mail cho tôi để kịp thời sửa chữa. 
 Nguyễn Tăng Vũ 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 2
1. Thi vào trường Lê Hồng Phong 
Năm học 2001 – 2002 
Đề thi chung 
Bài 1: 
 Cho phương trình 
a) Định m để phương trình có nghiệm 
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 
Bài 2: 
 Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) với mọi 
b) 
c) với mọi a, b, c, d, e 
Bài 3: 
 Giải các phương trình sau: 
a) 
b) 
Bài 4: 
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và 
có trực tâm là H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ pBC . 
a) Xác định vị trí điểm M sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành 
b) Với M lấy bất kì thuộ cung nhỏ pBC , gọi N, E lần lượt là các điểm đối 
xứng của M qua AB, AC. Chứng minh rằng N, H, E thẳng hàng 
c) Xác định vị trí của M thuộc cung nhỏ pBC sao cho NE có độ dài lớn 
nhất 
Bài 5: 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 3
 Cho đường tròn cố định tâm O, bán kính bằng 1. Tam giác ABC thay 
đổi và luôn ngoại tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng đi qua tâm O và cắt 
các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích 
tam giác AMN. 
Năm học 2002 – 2003 
Đề thi chung 
Bài 1: 
Rút gọn các biểu: 
a) 
b) 
Bài 2: 
 Cho phương trình: 
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt 
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
Bài 3: 
a) Chứng minh: 
b) Chứng minh: 
c) Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh rằng: 
Bài 4: 
Giải các phương trình sau: 
a) 
b) 
Bài 5: 
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không qua O cắt đường tròn 
(O) tại hai điểm A, B. Từ một điểm di động M trên đường thẳng (d) và ở 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 4
ngoài (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O) (N, P là hai tiếp 
điểm) 
a) Chứng minh rằng 
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua một điểm cố 
định khi M lưu động trên đường thẳng (d) 
c) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là 
một hình vuông 
d) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP lưu 
động trên một đường cố định khi M lưu động trên (d) 
Đề thi vào lớp chuyên toán 
Bài 1: 
 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm và tính các nghiệm 
ấy theo m: 
Bài 2: 
 Phân tích đa thức thành nhân tử: 10 5 1A x x= + + 
Bài 3: 
 Giải các phương trình và hệ phương trình: 
Bài 4: 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 5: 
 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có AB 
< AC. Lấy điểm M thuộc cuung BC không chứa điểm A của đường trònh 
(O). Vẽ MH vuông góc BC, MK vuông góc CA, MI vuông góc AB( H thuộc 
BC, K thuộc AC, I thuộc AB). Chứng minh 
Bài 6: 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 5
 Cho tam giác ABC, giả sử các đường phân giác trong và phân giác ngoài 
của góc A của tam giác ABC lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, E và có AD 
= AE. Chứng minh rằng , với R là bán kính đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABC. 
Năm học 2003 – 2004 
Đề thi chung 
Bài 1: 
Cho phương trình: 
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm 
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có 
Bài 2: 
a) Cho và . Chứng minh: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 3: 
Giải các hệ phương trình sau: 
a) b) 
Bài 4: 
Chứng minh rằng nếu thì ít nhất một trong hai phương trình sau 
có nghiệm: 
Bài 5: 
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi K là trung điểm cung pAB , M 
là điểm lưu động trên cung nhỏ pAK ( M khác A và K). Lấy điểm N trên đoạn 
BM sao cho: BN = AM. 
a) Chứng minh rằng 
b) Chứng minh tam giác MNK vuông cân 
c) Hai đường thẳng AM và Ok cắt nhau tại D. Chứng minh MK là đường 
phân giác của góc 
d) Chứng minh đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua một 
điểm cố định 
Bài 6: 
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có R là bán kính đường 
tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức . Hãy định dạng tam giác 
ABC. 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 6
Đề thi vào lớp chuyên toán 
Bài 1: 
 a) Rút gọn biểu thức: 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 2: 
Giải các phương trình và hệ phương trình sau 
a) 
b) 
Bài 3: 
Phân tích thành nhân tử: . 
Áp dụng giải phương trình 
Bài 4: 
Cho hai phương trình: 
Chứng minh rằng nếu ít nhất một phương trình trong hai phương trình 
trên vô nghiệm thì phương trình sau luôn có nghiệm: 
Bài 5: 
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) có đường cao AH và trung 
tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E ( D 
và E khác điểm A). 
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng 
b) Chứng minh và MA vuông góc với DE. 
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn tâm O. 
Tứ giác AMOH là hình gì? 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 7
d) Cho góc và AH = a. Tính diện tích tam giác AEC theo a. 
Bài 6: 
Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng bằng cạnh đáy 
lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD. Cho biết . Tính các góc 
của hình thang. 
Năm học 2004 – 2005 
Đề thi chung 
I. Phần tự chọn: Học sinh chọn một trong hai bài sau đây: 
Bài 1a: 
Cho phương trình: ( )2 3 1 2 18 0x m x m− + + − = 
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm 
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có 1 2 5x x− ≤ 
Bài 1b 
Rút gọn các biểu thức sau: 
a) 
2 2
1
1 1
x x x xA x
x x x x
− += − + ++ + − + 
b) 2 2 1
12 1
x x x x x xB
xx x x
⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + − −= −⎜ ⎟⎜ ⎟−+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
I. Phần bắt buộc: 
Bài 2: 
Giải các phương trình: 
a) 23 4 2 2x x x+ − = − 
b) ( )
2
2
2 9
3 9 2
x x
x
= +
− +
Bài 3: 
a) Cho 1, 1x y≥ ≥ . Chứng minh rằng: 1 1x y y x xy− + − ≤ 
b) Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
1 11 1A
x y
⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 
Bài 4: 
Tìm các số nguyên x, y thoả hệ: 
2 1 0
2 1 1 0
y x x
y x
⎧ − − − ≥⎪⎨ − + + − ≤⎪⎩
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 8
Bài 5: 
Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp 
tuyến MC, MD với (O)( C, D là các tiếp điểm). Vẽ các tuyến MAB không đi 
qua tâm O, A nằm giữa M và B. Tia phân giác của góc nACBcắt AB tại E. 
a) Chứng minh MC = ME 
b) Chứng minh DE là phân giác góc ADB 
c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh 5 điểm O, I, C, M, 
D cùng nằm trên một đường tròn 
d) Chứng minh IM là phân giác nCID 
Bài 6: 
Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là BC và AD(BC > AD). Trên tia 
đối của của tia CA lấy một điểm P tuỳ ý. Đường thẳng qua P và trung điểm I 
của BC cắt AB tại M, đường thẳng qua P và trung điểm J của AD cắt CD tại 
N. Chứng minh MN song song AD. 
Đề thi vào lớp chuyên toán 
Bài 1: 
Giải hệ phương trình: 
3 6 1
2
1 1 0
2
x y x y
x y x y
⎧ − = −⎪ − +⎪⎨⎪ − =⎪ − +⎩
Bài 2: 
Cho x > 0 và thoả 2 2
1 7x
x
+ = . Tính 5 51x x+ 
Bài 3: 
Giải phương trình 3 3 1 1
3 10
x x
x
= + −+ 
Bài 4: 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 25 9 12 24 48 82P x y xy x y= + − + − + 
b) Tìm các số nguyên x, y thoả hệ 3 3 3
3
3
x y z
x y z
+ + =⎧⎨ + + =⎩
Bài 5: 
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O( AB < 
BC). Vẽ đường tròn tâm I qua 2 điểm A và C cắt các đoạn AB, BC lần lượt 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 9
tại M, N. Vẽ đường tròn tâm J đi qua 3 điểm B, N, M cắt đường tròn (O) tại 
điểm H. Chứng minh rằng 
a) OB vuông góc với MN 
b) IOBJ là hình bình hành 
c) BH vuông góc với IH 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 10
2. Thi vào trường Trần Đại Nghĩa 
Năm học: 2001 – 2002 
Bài 1: 
Cho phương trình : ( )2 2 2 0mx m x m− + + = . 
a) Định m để phương trình có nghiệm. 
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. 
Bài 2: 
Giải các phương trình: 
a) 22 5 1 3 1x x x− + = − 
b) 2 2 2x x− + = − . 
Bài 3: 
Giải các hệ phương trình: 
a) 
3
3
2
2
x y x
y x y
⎧ = −⎪⎨ = −⎪⎩
b) ( )( )
3 3
1
54
x y y x xy
x y
⎧ − = − +⎪⎨⎪ + =⎩
. 
Bài 4: 
Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 1x y xy x y+ + ≥ + + . 
Bài 5: 
Cho đường tròn (O; R) và một điểm P thuộc (O). Từ P vẽ hai tia Px, Py 
lần lượt cắt đường tròn (O) tại A và B. Cho góc nxPy là góc nhọn. 
a) Vẽ hình bình hành APBM. Gọi K là trực tâm của tam giác ABM. 
Chừng minh rằng K thuộc (O). 
b) Gọi H là trực tâm của tam giác APC và I là trung điểm của đoạn AB. 
Chứng minh H, I, K thẳng hàng. 
c) Khi hai tia Px, Py quay quanh P cố định sao cho PX, Py vẩn cắt (O) 
và góc nxPy không đổi thì H lưu động trên đường cố định nào? 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 11
Năm học 2002 – 2003 
Đề thi chung 
Bài 1: 
Cho phương trình : 25 28 0x mx+ − = . Định m để phương trình có hai 
nghiệm x1, x2 thoả 1 25 2 1x x+ = . 
Bài 2: 
Cho phương trình ( )2 0 0ax bx c a+ + = ≠ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
thoả 21 2x x= . Chứng minh 3 2 2 3b a c ac abc+ + = . 
Bài 3: 
Giải các phương trình và hệ phương trình: 
a) 3 3 0x x− + + = 
b) 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
4 12
2 3
x y x y
x y x y
⎧ + − + =⎪⎨ − − − =⎪⎩
Bài 4: 
Thu gọn biểu thức sau: 6 2 2 12 18 8 2A = − + + − 
Bài 5: 
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam 
giác đó. 
a) Chứng minh ( )( )( ) 1
8
p a p b p c abc− − − ≤ . 
b) Chứng minh rằng phương trình sau đây vô nghiệm: 
( )2 2 2 2 2 2 0c x a b c x b+ − − + = . 
Bài 6: 
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định và đường kính CD 
thay đổi. (CD không trùng AB). Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn (O) tại B. 
Các đường thẳng AC, AD cắt (d) lần lượt tại P và Q. 
a) Chứng minh tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp 
b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD. 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 12
c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP. Chứng minh E lưu 
động trên một đường tròn cố định khi đường kính CD thay đổi. 
Năm học 2003 – 2004 
Đề thi chung 
Bài 1: 
Cho phương trình ( )2 2 3 3 0x m x m− + + − = . 
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có nghiệm. 
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 1 2x x− đạt 
giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất ấy. 
Bài 2: 
a) Cho x < 0, y < 0. Chứng minh: 
2 2
x y x yxy xy x y+ +− + + = + 
b) Cho 1 1 2 1x y a+ + + = + . Chứng minh 2x y a+ ≥ . 
Bài 3: 
Giải các phương trình và hệ phương trình: 
a) 4 3 24 19 106 120 0x x x x− − + − = 
b) 
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
Bài 4: 
Chứng minh rằng phương trình 6 5 4 3 2 3 0
4
x x x x x x− + − + − + = vô nghiệm. 
Bài 5: 
Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O)( AB không đi qua O) và có hai 
điểm C, D lưu động trên cung lớn AB sao cho AD song song với BC ( C, D 
khác A, B và AD > BC)Gọi M là giao điểm của DB và AC. Hai tiếp tuyến của 
đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại I. 
a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng 
b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi. 
Bài 6: 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 13
Cho tam giác ABC không phải là tam giác đều và có 3 góc nhọn. Đường 
cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CE lần lượt cắt nhau và 
các giao điểm tạo thành tam giác PQR. Tam giác PQR có thể là tam giác 
đều không? 
Đề thi vào lớp chuyên toán 
Bài 1: 
Giải các phương trình: 
a) ( ) ( )( )26 7 3 4 1 0x x x+ + + = 
b) ( )( )( )( ) 24 5 6 10 12 3x x x x x+ + + + = 
Bài 2: 
Cho 0, 0, 0x y z≥ ≥ ≥ thoả 4 2 4
3 6 2 6
x y z
x y z
+ + =⎧⎨ + − =⎩ 
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = 5x -6y + 7z. 
Bài 3: 
 Phân tích thành nhân tử: ( ) ( ) ( )5 5 5A x y y z z x= − + − + − 
Bài 4: 
Cho phương trình: 2 0x px q+ + = . 
a) Chứng minh rằng nếu 22 9 0p q− = thì phương trình có 2 nghiệm phân 
biệt và nghiệm này gấp đối nghiệm kia. 
b) Cho p, q là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu phương trình có 
nghiệm hữu tỉ thì nghiệm ấy phải là số nguyên. 
Bài 5: 
Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Hai điểm M, N lưu động trên hai đoạn 
AB và AC sao cho 1AM AN
MB NC
+ = . Đặt AM = x, AN = y. 
a) Chứng minh rằng 2 2 2MN x y xy= + − . 
b) Chứng minh MN = a – x – y 
c) Chứng tỏ rằng MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác 
ABC. 
Bài 6: 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 14
Cho góc nxOy cố định. Có hai điểm M, N lần lượt lưu động trên hai tia Ox, 
Oy sao cho OM + ON = 2k.( k là hằng số dương). Trung điểm I của MN lưu 
động trên đường cố định nào? 
Năm học: 2004 – 2005 
Đề thi chung 
Bài 1: 
Cho phương trình: ( ) ( )( )4 23 14 4 12 2 0x m x m m− + + + − = . 
a) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 
b) Định m sao cho tích 4 nghiệm của phương trình trên có giá trị lớn 
nhất. 
Bài 2: 
Giải các phương trình: 
a) 2 22 1 1 2x x x+ + − = − 
b) 
2
12 82 4 2 2
9 16
xx x
x
−+ − − = + 
Bài 3: 
 Cho x, y là các số thực khác 0. Chứng minh: 
2 2
2 2 3
x y x y
y x y x
⎛ ⎞+ ≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Bài 4: 
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phương trình: 2 2 2 2x xy y x y+ + = . 
Bài 5: 
Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O;R). Vẽ tam 
giác đềuACD ( D và B khác phía đối với đường thẳng AC). Gọi E là giao 
điểm của BD với đường tròn (O), gọi M là giao điểm của BD với đường cao 
AH của tam giác ABC. 
a) Chứng minh MADC là tứ giác nội tiếp 
b) Tính DE theo R. 
Bài 6: 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 15
Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên cung 
AC không chứa B lấy hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C. Các đoạn 
thẳng AM và BK cắt nhau tại E, còn các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại 
D. Chứng minh ED song song với AC. 
Đề thi vào lớp chuyên toán 
Bài 1: 
Cho phương trình: : 2 1 0x px+ + = có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và 
phương trình 2 1 0x qx+ + = có hai nghiệm b1, b2. Chứng minh rằng 
( )( )( )( ) 2 21 2 2 1 1 2 2aa b a b a b a b q p− − + + = − . 
Bài 2: 
Cho các số a, b, c, x, y, z thoả , ,x by cz y ax cz z ax by= + = + = + , và 
, , 0x y z ≠ . Chứng minh rằng: 1 1 1 2
1 1 1a b c
+ + =+ + + . 
Bài 3: 
a) Tìm x, y thoả 2 25 5 8 2 2 2 0x y xy x y+ + + − + = 
b) Cho các số dương x, y, z thoả: 3 3 3 1x y z+ + = . 
Chứng minh: 
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
x y z
x y z
+ + ≥− − − . 
Bài 4: 
Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thoả phương trình 
3 3 1993x y− = 
Bài 5: 
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) ( AB < 
AC). Đường tròn tâm O1 tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M, tiếp xúc với 
hai cạnh AB, AC lần lượt tại L và K. Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với 
đường tròn (O). 
a) Chứng minh ME là tia phân giác của góc AMC 
b) Tia phân giác MX của góc BMC cắt LK tại I. Chứng minh rằng 4 điểm 
M, I, K, C cùng thuộc một đường tròn. 
c) Chứng minh CI là tia phân giác của góc BCA. 
Bài 6: 
Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC 
sao cho BD = a và CD = b.( a> b). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Tính AE theo a, b. 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 16
3. Thi vào lớp chuyên toán trườngTrung 
Học Thực Hành ĐHSP TPHCM 
Năm học: 2005 – 2006 
Vòng 1 
Bài 1: 
Cho phương trình: ( ) 21 2 2 0m x mx m+ − + − = . 
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép này. 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biện x1, x2 thoả mãn: 
2 2
1 2 1 2 1x x x x+ = + + . 
Bài 2: 
Tính ( )( )11 2 30 8 4 3 5 2A = + − − − . 
Bài 3: 
a) Giải hệ phương trình: 
( )( )
( )( )
1 12 3 50
2 2
1 12 2 32
2 2
x y xy
x y xy
⎧ + + = +⎪⎪⎨⎪ − − = −⎪⎩
. 
b) Giải phương trình: 23 6 4 1 2x x x− + = − . 
c) Giải phương trình: ( ) ( )4 22 22 3 2 4 0x x x x+ + + − = . 
Bài 4: 
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi I là 
điểm đối xứng của A qua O. Trên cạnh BA lấy điểm M và trên đường kéo 
dài của cạnh AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM =CN. Hai đường thẳng 
MN và BC cắt nhai tại K. Chứng minh rằng: 
a) Hai tam giác IBM và ICN bằng nhau. 
b) Tứ giác AMIN nội tiếp trong một đường tròn. 
c) K là trung điểm của đoạn MN. 
Bài 5: 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 17
Cho hình vuông ABCD. Trên đoạn AC lấy điểm M. Gọi E và F lần lượt là 
hình chiếu vuông góc của M lên BA và BC. 
a) So sánh diện tích tam giác DEF và diện tích tứ giác AEFC. 
b) Xác định vị trí M để diện tích tam giác DEF là nhỏ nhất. 
Vòng 2 
Bài 1: 
a) Không dùng máy tính, hãy so sánh: 4 7 4 7x = + − − và 
2 3 2 3y = + − − . 
b) Giải phương trình: 1 2 1x x− − + = . 
Bài 2: 
Cho phương trình ( )2 22 4 8 0x m x m− + + − = . 
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. 
b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình. Hãy lập một hệ thức liên hệ 
giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m. 
c) Với giá trị nào của m, biểu thức 2 21 2 1 2A x x x x= − − đạt giá trị lớn nhất. 
Tìm giá trị lớn nhất đó. 
Bài 3: 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có giá trị cùa biểu thức 
E = n3 + 5n luôn là bội của 6. 
Bài 4: 
Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC) . Đường tròn tâm O, đường 
kính AB và đường tròn tâm O’ đường kính AC cắt nhau tại A và D. 
a) Chứng minh rằng 3 điểm B, C, D thẳng hàng. 
b) Gọi M’ là điểm chính giữa của cung nhỏ CD. AM cắt BC tại E và cắt 
đường tròn tâm O tại N. Chứng minh tam giác ABE cân. 
c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh Ok vuông góc 
với O’K. 
d) Đặt BC = a, AB = b, AC = b. Điểm P di động trên nửa đường tròn 
đường kính BC không chứa A ( P khác B và C). Gọi Q, R, S lần lượt 
là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC, CA, AB. Đặt PQ = x, 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 18
PR = y, PS = z. Xác định vị trí của P sao cho biểu thức a b c
x y z
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 5: 
Cho a, b, là các số dương thoả mãn: 2 2
1 1 1
2a b
+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức K = a + b. 
Năm học: 2006 – 2007 
Vòng 1 
Bài 1: 
a) Giải phương trình: 2 3 1 2 0x x x− − − + = . 
b) Giả sử các phương trình: 2 0ax bx c+ + = và 2 0cy dy a+ + = ( a và c 
khác 0) có các nghiệm tương ứng là x1, x2 và y1, y2. Chứng minh 
rằng: 2 2 2 21 2 1 2 4x x y y+ + + ≥ . 
Bài 2: 
a) Với mỗi số tự nhiên 1k ≥ , chứng minh rằng: 
( )
1 1 1
1 1 1k k k k k k
= −+ + + + . 
Áp dụng tính giá trị của biểu thức sau: 
1 1 1...
2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
+ + ++ + + . 
b) Xác định m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất. 
1
1
x y m
y x m
⎧ − + =⎪⎨ − + =⎪⎩
Bài 3: 
 Giải hệ phương trình: 
( )( )
( )( )
( )( )
8
16
32
x y x z
y x y z
z x z y
⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
Bài 4: 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 19
 Gọi AD là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC ( D thuộc 
cạnh BC). Trên AD lấy hai điểm M, N sao cho: n nABN CBM= . BM cắt đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai F. 
a) Chứng minh rằng BECF là tứ giác nội tiếp. 
b) Áp dụng câu a) chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng. 
c) Chứng minh rằng n nBCF ACM= . Từ đó suy ra: n nACN BCM= . 
Vòng 2 
Bài 1: 
Giải và biện luận theo tham số m phương trình sau: 
2006 2006
2006 2006
x x
x m x m
+ −=+ − − + 
Bài 2: 
Giải hệ phương trình: 
3 2
3 2
2 2
2 2
x y y
y x x
⎧ = +⎪⎨ = +⎪⎩
Bài 3: 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 6 2006 12033 0xy x y+ + + = 
Bài 4: 
Chứng minh rằng luôn tồn tại một số tữ nhiên N có không quá 2007 chữ 
số sao cho các chữ số của N chỉ là 9 hoặc 0 và N chia hết 10030. 
Bài 5: 
Cho hai điểm phân biệt A, B. Hai đường tròn thay đổi lần lượt tiếp xúc 
với đường thẳng AB tại A, B và tiếp xúc ngoài với nhau tại C. Tìm quĩ tích 
điểm C. 
Bài 6: 
Cho đường tròn tâm O và điểm A ở ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua 
A cắt đường tròn tại B, C phân biệt. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và 
C cắt nhau tại D. Đường thẳng qua D vuông góc với OA cắt đường tròn tại 
E, F( E thuộc đoạn DF). Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh 
rằng: 
a) Ngũ giác AEMOF nội tiếp một đường tròn nào đó. 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 20
b) AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (O). 
Năm học: 2007 – 2008 
Bài 1: 
a) Giải phương trình: ( ) 2 23 5 2 7 3x x x x− + = − + − . 
b) Cho phương trình ( ) ( ) ( )21 1 3 0 1m x m x m+ − − + + = . Tìm tất cả các số 
nguyên m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1. x2 và 2 21 2 1 2x x x x+ 
là một số nguyên. 
Bài 2: 
Cho a > b > c > 0. Chứng minh rằng: 
 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3a b b c c a a b b c c a+ + > + + . 
Bài 3: 
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho 
( )
( )
( )
1
1
1
xy z
xz y
yz x
⎧ +⎪ +⎨⎪ +⎩
#
#
#
Bài 4: 
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi (O’) là đường tròn 
bất kì tiếp xúc ngoài với (O) tại D trên cung BC không chứa A. Các đường 
thẳng AD, BD, CD cắt đường tròn (O’) lần lượt tại A’, B’, C’. 
a) Chứng minh: AA BB CC
AD BD CD
′ ′ ′= = . 
b) Chứng minh: . . .AD BC AC BD ABCD= + . 
c) Gọi A1, B1, C1 là các tiếp tuyến của (O’) vẽ từ A, B, C. Chứng minh 
rằng 1 1 1. . .AA BC BB AC CC AB= + . 
Bài 5: 
Chứng minh rằng nếu ABCD là tứ giác lồi và không phải là tứ giác nội 
tiếp thì: . . .ABCD AD BC AC BD+ > . 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 21
4. Thi vào Phổ Thông Năng Khiếu – ĐHQG 
TPHCM 
Năm học: 2001 – 2002 
Đề toán chung cho các khối C và D 
Bài 1: 
Cho parabol (P): 2 2y x mx= − + . 
a) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x – m tiếp xúc với (P). 
b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2 2 0x mx− + = 
Tính 2 21 2A x x= + 
Bài 2: 
Giải các phương trình: 
 a) ( )3 2 2x x x+ = − + 
b) 3 12 1
3 1
x x
x x
− = +− . 
Bài 3: 
a) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2 2
2 2
3 28
x y
x y x
⎧ − = −⎪⎨ − =⎪⎩
. 
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
2
2
2
2
xy
x x
+= + + . 
Bài 4: 
 Tứ giác ABCD có AB = BD = DA = a và góc n 60oACD = . 
a) Tính góc ACB. 
b) Cho CB = CD. Tính theo a khoảng cách giữa các trực tâm H của tam 
giác CBD và trực tâm K của tam giác ABD. 
Bài 5: 
 Một hồ nước được cung cấp bởi 3 vòi nước. Biết rằng nếu từng vòi nước 
cung cấp nước chi hổ thì vòi thức nhất sẽ làm đầy hồ nhan hơn vòi nước 
thứ hai là 5 giờ, vòi nước thừ ba lại làm đầy hồ nhanh hơn vòi nước thứ 
nhất là 4 giờ; còn nếu vòi nước thừ nhất và thứ hai cùng cung cấp nước 
cho hồ thì thời gian chúng làm đầy hồ bằng với thời gian vòi nước thứ ba 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 22
làm đầy hồ. Hỏi nếu cả ba vòi cùng cung cấp nước thì hồ sẽ đầy trong bao 
lâu? 
Đề toán chung cho các khối A và B 
Bài 1: 
a) Giải bất phương trình 1 2 1x x+ > − 
b) Giải hệ phương trình: 
1 7
2
1 7
3
x
y
y
x
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩
Bài 2: 
 Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình: 
2 1 0x ax+ + = và 2 0x bx c+ + = có nghiệm chung đồng thời các phương trình 
2 0x x a+ + = và 2 0x cx b+ + = cũng có nghiệm chung. 
Hãy tìm tổng a + b + c. 
Bài 3: 
a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm 
M, N sao cho 
3
ABAM CN= = . Gọi K là giao điểm của AN và DM. 
Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ADK nằm trên BC. 
b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm của hai đường chéo là O. Một 
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm 
S trên d. Chứng minh rằng ( )AC SBD⊥ và ( ) ( )SAC SBD⊥ . 
Bài 4: 
 Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và AB = 2. BC =13, CD = 
8, DA = 5. 
a) Đường thẳng BA cắt DC tại E. Tính AE. 
b) Tính diện tích của tứ giác ABCD. 
Bài 5: 
 Trong một giải cờ vua có 8 kì thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt, 
thằng được 1 điểm, hoà được 0.5 điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi 
tất cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kì thủ nhận được số điểm khác nhau và 
Nguyễn Tăng Vũ Đề thi vào lớp 10 
 23
kì thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng số điềm của 4 kì thủ xếp cuối cùng. 
Hỏi ván đấu giữa kì thủ xếp thứ tư và kì thủ xếp thứ 5 kết thúc với kết quả 
như thế nào. 
Đề thi vào chuyên toán 
Bài 1: 
a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000a 
là số chính phương. 
b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b – 1 ) không là bội của 9,