Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn ,Thanh Hóa môn thi: Toán năm học 2007 – 2008

ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN , THANH HÓA 
MÔN THI : TOÁN ( thời gian 150 phút ) 
Năm học 2007 – 2008 
Câu 1 : ( 2,5 đ) 
1) Cho biểu thức P = 
2x 1 x 1 x x
x
x x 1 x x 1 1 x
Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và hãy rút gọn biểu thức P 
2) Giải phương trình 2x 2x 7 3 (x 1)(x 3) 
Câu 2 : ( 2đ) 
1) Cho phương trình x2 – ( a + b ) x – ab = 0 ( x là ẩn ) có 2 nghiệm x1 , x2 . 
Tìm x1 , x2 biết rằng x1
2
 + x2
2
 + 2 = 2 ( x1 + x2 – 2 x1x2 ) 
2) Giải hệ phương trình 
2
2
(x x)(x y) 4
(x 1) y 1
Câu 3 ( 1,5 đ) 
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = mx – m + 1 . Đường thẳng d cắt trục 
hoành tại A và trục tung tại B ( A, B không trùng với gốc tọa độ O ) . Gọi H là chân đường cao hạ từ O của 
tam giác OAB . Tìm m biết OH = 
3
5
Câu 4 ( 3 đ) 
Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác đều ABC và điểm M bất kì trên cung nhỏ BC ( M không trùng với B và 
C ) . Nối MA cắt BC tại N . Chứng minh rằng : 
 1) MB + MC = MA 
 2) 
1 1 1
MB MC MN
 3) 
1 1
MB MC
 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MB + MC đạt giá trị lớn nhất 
Câu 5 : ( 1 đ) 
 Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x3 + y3 = - 2 
 Chứng minh - 2 x y 0 
Sơ lược bài giải 
Câu 1 : 1) Điều kiện x 0 , x ≠ 1 P = x - 1 
 2) Đặt x 1 x 3 = t ( t 0 ) thì t2 – 3t – 4 = 0 
Từ đó t = 1 hoặc t = - 4 ( loại ) 
Vậy x = 1 5 
Câu 2 : 1) Điều kiện ( a +b )2 +4ab ≥ 0 
Áp dụng Viét ta được ( a – 1 )2 + ( b – 1 )2 = 0 suy ra a = b = 1 
 Vậy x1,2 = 1 2 
 2) Đặt u = x2 + x , v = x + y ta được hệ phương trình 
uv 4 u v 2
u v 0 u v 2
 Vậy ( x ; y ) = ( 1 ; -3 ); ( - 2 , 0) 
Câu 3 : Ta có A ( 
m 1
m
;0) , B ( 0 ; 1 – m ) với m ≠ 0 suy ra OA = 
m 1
m
 ; OB = 1 m 
Trong tam giác vuông OAB ta có 
2 2 2
1 1 1
OA OB OH
 2m
2
 +5m+2 = 0 
 Vậy m = - 2 hoặc m = - 
1
2
Câu 4 : 1) Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho MD = MC thì CMD đều 
 Suy ra CD = CM và  ACD BCM Xét tam giác ACD và tg BCM có : 
AC = BC ;  ACD BCM và CD = CM 
Suy ra ACD BCM ( c – g – c ) Vậy AD = BM 
Nên MB + MC = AD + DM = MA ( điều ta phải chứng minh ) 
O
A
B C
M
D
N
2) Vì CD // BM nên 1
CD ND MD MN MD
MB NM NM MN
Mà CD = MD = MC nên 
1 1 1
1
MC MC
MB MN MB MC MN
3) Ta có 
1 1 4 4 2
MB MC MB MC MA R
 ( áp dụng tính chất ( x + y )2 ≥ 4xy ) 
Vậy 
1 1
MB MC
 Đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 
MB +MC lớn nhất . Khi đó MA = 2R 
Câu 5 : Vì x
3
 + y
3
 = - 2 < 0 nên x
3
 < - y
3
 x + y < 0 
 Vì ( x – y ) 2 ≥ 0 nên ( x + y )2 ≥ 4 xy 
Suy ra : ( x + y) 
3
 4xy ( x + y ) . Do đó - 2 = x3 + y3 = ( x + y )3 – 3xy ( x + y ) 
1
4
( x + y )
3
 ( Thay xy 
1
4
( x + y )
2
Suy ra x + y ≥ - 2 điều ta phải chứng minh 
GV : Huỳnh Ngọc Hiệp sưu tầm và lược giải