Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thcs năm học 2008 – 2009 môn: toán thời gian : 150 phút  (không kể thời gian giao đề)

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN LỤC YấN 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2008 – 2009 
Mụn: Toỏn 
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) 
Bài 1 (4 điểm) 
Cho ba số dương a, b, c thỏa món điều kiện: 
2 2 2 
a b c 2 (1) 
a b c 2 (2) 
+ + = ỡ 
ớ 
+ + = ợ 
Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 2 
2 2 2 
(1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b ) 
a. b. c. 2 
1 a 1 b 1 c 
+ + + + + + 
+ + = 
+ + + 
Bài 2 (4 điểm) 
Giải cỏc phương trỡnh: 
a)  2 x 8x 15 3 x 3 2 x 5 6 + + = + + + - 
b)  2 x 2x 2 2 2x 3 - + = - 
Bài 3 (4 điểm) 
Cho điểm M  thuộc miền  trong  tam giỏc ABC. Cỏc  tia AM, BM, CM cắt cỏc 
cạnh của tam giỏc ABC theo thứ tự ở P, Q, R. Chứng minh rằng: 
a) 
MP MQ MR 
1 
AP BQ CR 
+ + = 
b) 
MA MB MC 
2 
AP BQ CR 
+ + = 
Bài 4 (4 điểm) 
Cho  hỡnh  vuụng  ABCD  cạnh  a.  Trờn  cỏc  cạnh  AB,  BC,  CD,  DA  của  hỡnh 
vuụng  lấy cỏc điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH để được hỡnh vuụng 
EFGH. Với giỏ trị nào của AE thỡ diện tớch EFGH đạt giỏ trị nhỏ nhất? 
Bài 5 (4 điểm) 
Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn a, b khỏc 0 sao cho: 
(a, b) = 1 và  2 2 
a b 9 
a b 41 
+ 
= 
+
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN LỤC YấN 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2008 – 2009 
MễN TOÁN 
Bài 1 (4 điểm) 
Từ (1) suy ra: 
a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = 4 (3)  (0,5 điểm) 
Từ (2) và (3) suy ra: 
2(ab + bc + ca) = 2 Û ab + bc + ca = 1  (0,5 điểm) 
Xột: 
1 + b 2 = ab + bc + ca + b 2 = (b + c)(a + b)  (0,5 điểm) 
1 + c 2 = ab + bc + ca + c 2 = (a + c)(b + c)  (0,5 điểm) 
1 + a 2 = ab + bc + ca + a 2 = (a + b)(a + c)  (0,5 điểm) 
Do đú: 
2 2 2 2 2 2 
2 2 2 
(1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b ) 
a b c 
1 a 1 b 1 c 
+ + + + + + 
+ + = 
+ + + 
2 2 2 a (b c) b (a c) c (a b) = + + + + + =  (0,5 điểm) 
= a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) =  (0,5 điểm) 
= 2(ab + bc + ca) = 2  (0,5 điểm) 
Bài 2 (4 điểm) 
a) Điều kiện: x ≥ –3, ta cú:  (0,5 điểm) 
(1) Û  (x 3)(x 5) 3 x 3 2 x 5 6 0 + + - + - + + = 
Û  ( x 3 2)( x 5 3) 0 + - + - =  (0,5 điểm) 
Û 
x 3 2 x 3 4 x 1 
x 5 9 x 4 x 5 3 
ộ + = + = = ộ ộ 
Û Û ờ ờ ờ + = = + = ở ở ờ ở 
(0,5 điểm) 
Vậy: phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 4  (0,5 điểm) 
b) Điều kiện: 
3 
x 
2 
³  . Ta cú:  (0,5 điểm) 
2 x 2x 2 2 2x 3 - + = - 
Û  2 x 4x 4 2x 3 2 2x 3 1 0 - + + - - - + =  (0,5 điểm) 
2 2 (x 2) ( 2x 3 1) 0 
x 2 0 
x 2 
2x 3 1 
Û - + - - = 
- = ỡ ù Û Û = ớ 
- = ù ợ 
(0,5 điểm) 
Vậy: Phương trỡnh đó cho cú một nghiệm x = 2  (0,5 điểm)
Bài 3 (4 điểm) 
a) Kẻ AH và MK vuụng gúc với BC 
ị  MBC 
ABC 
S MK 
S AH 
=  (1)  (0,5 điểm) 
Mặt khỏc: MK // AH (cựng vuụng gúc với BC) 
Theo Ta lột: 
MK MP 
AH AP 
=  (2) 
(0,5 điểm) 
Từ (1) và (2) suy ra:  MBC 
ABC 
MP S 
AP S 
= 
Tương tự:  AMC 
ABC 
MQ S 
BQ S 
=  và  AMB 
ABC 
MR S 
CR S 
=  (0,5 điểm) 
Vậy:  BMC AMC AMB ABC 
ABC ABC 
MP MQ MR S S S S 
1 
AP BQ CR S S 
+ + 
+ + = = =  (0,5 điểm) 
MA MB MC AP MP BQ MQ CR MR 
b) 
AP BQ CR AP BQ CR 
- - - 
+ + = + +  (1 điểm) 
MP MQ MR 
3 3 1 2 
AP BQ CR 
ổ ử 
= - + + = - = ỗ ữ 
ố ứ 
(1 điểm) 
Bài 4 (4 điểm) 
Gọi diện tớch của EFGH là S 
Theo giả thiết: 
AE = BF = CG = DH ị BE = CF = CG = AH 
Suy ra: AE + AH = a và ∆AEH = ∆BEF = ∆CGF = ∆DGH 
(0,5 điểm) 
Ta cú: S = SABCD – 4.SAEH Û S = a 2 – 2.AE.AH 
Do đú S nhỏ nhất Û AE.AH lớn nhất  (1 điểm) 
Ta cú với mọi x, y ẻ R: (x – y) 2 ≥ 0 Û x 2 + y 2 ≥ 2xy 
Û x 2 + y 2 + 2xy ≥ 4xy Û (x + y) 2 ≥ 4xy Û 
2 (x y) 
xy 
4 
+ 
Ê 
Dấu “=” xảy ra Û x = y  (0,5 điểm) 
Suy ra:  S = a 2 – 2.AE.AH ≤ 
2 2 2 
2 2 (AE AH) a a a a 
2 2 2 
+ 
- = - =  (1 điểm) 
Dấu “=” xảy ra Û AE = AH Û AE = 
a 
2 
(0,5 điểm) 
Vậy: 
2 a a 
minS AE 
2 2 
= Û =  (0,5 điểm) 
H  K 
R 
P 
Q 
B  C 
A 
M 
H 
G 
F 
B A 
D  C 
E
Bài 5 (4 điểm) 
Vỡ (a, b) = 1 suy ra: (a + b, a 2 + b 2 ) = 1  (0,5 điểm) 
Thật vậy, giả sử (a + b, a 2 + b 2 ) = d (d ≠ 1). Suy ra: 
2 2 2 
a b d a b d  a b d (1) 
ab d (2) a b d (a b) 2ab d 
+ + + ỡ ỡ ỡ 
Û Û ớ ớ ớ 
+ + - ợ ợ ợ 
M M M 
M M M 
(0,5 điểm) 
– Vỡ (a, b) = 1 nờn từ (2) suy ra: a M d hoặc b M d  (0,5 điểm) 
+ Nếu a M d thỡ từ (1) suy ra b M d (vụ lớ vỡ a, b nguyờn tố cựng nhau) 
+ Nếu b M d thỡ từ (1) suy ra a M d (vụ lớ vỡ a, b nguyờn tố cựng nhau) 
– Vậy: (a + b, a 2 + b 2 ) = 1  (1 điểm) 
Vỡ (a + b, a 2 + b 2 ) = 1. Kết hợp giả thiết suy ra: 
2 2 2 
a b 9 a b 9  a b 9 a 4 
ab 20 b 5 a b 41 (a b) 2ab 41 
+ = + = + = = ỡ ỡ ỡ ỡ 
Û Û Û ớ ớ ớ ớ = = + = + - = ợ ợ ợ ợ 
hoặc 
a 5 
b 4 
= ỡ 
ớ = ợ 
(1 điểm) 
Vậy: Cú hai cặp số thỏa món điều kiện đầu bài là a = 4; b = 5 hoặc a = 5; b = 4 
(0,5 điểm) 
Chỳ ý: Nếu học sinh cú cỏch giải khỏc với đỏp ỏn mà vẫn cho kết quả hợp lý, chớnh 
xỏc thỡ vẫn cho điểm theo thang điểm trờn