Diện tích hình “Con dao thợ giày - Arbelos”

Diện tích hình “Con dao thợ giày - arbelos”
I. Bài toán cổ


Trong tiếng Hy Lạp arbelos (Ac-be –lo) nghĩa là con dao của người thợ làm giày. Thực ra con dao làm nghề của người thợ giày có khi là những hình bán nguyệt to nhỏ khác nhau (Hình 1, 2, 3) hợp thành. Tuy nhiên, trong các bài toán hình học sơ cấp, ta gọi hình giới hạn bởi ba nửa đường tròn này là hình arbelos. 

Bài toán:
Cho ba điểm thẳng hàng P, Q, R trong đó Q nằm giữa P và R. Dựng các nửa đường tròn nhận PQ, QR, RP làm đường kính. Ta gọi hình giới hạn bởi ba nửa đường tròn này là hình arbelos.. Dựng đường thẳng vuông góc với PR tại Q cắt đường tròn lớn tại S. 
Chứng minh rằng: diện tích của hình arbelos bằng diện tích hình tròn đường kính QS.
 
Giải

Gọi diện tích Arbelos là A ; Diện tich hình tròn đường kính QS là C ta có:
 A = 2p (r1)2- 2p(r22 – r32) ; C = p.QS
-Dựng tam giác vuông PRH (trên nửa mặt phẳng đối của hình Arbelos đã cho); H chính là điểm đối xứng của S qua Q..
-Trên cạnh PH và HR dựng các nửa đường tròn có bán kính lần lượt là r1 và r2, được các hình bán nguyệt có diện tích là B1 và B2.
Theo ĐL Pytagor ta chứng mình được:
 A + A1 + A2 = B1 + B2 [*]


-Xác định tiếp 2 hình B1 và B2
 


















Tương tự: Dựng tam giác vuông QHP rồi QHR và chứng minh được: 

 B1 = A1 + C1 ; B2 = C2 + A2; Thay vào [*] ta có:
 
Có nghĩa là diện tích của hình arbelos bằng diện tích hình tròn đường kính QS.

II. Bài ứng dụng
Á Đông có biểu tượng “âm-dương” như hình bên, nhưng người vẽ đã để r1 < r2. Hãy so sánh 2 phần:
 âm = SA (màu xanh) và dương = SB.

HD gợi ý: Vẽ đủ 2 đườn tròn r1, r2 thấy
 SA = Sc + S1 + S2; 
 SB = SD + S1 + S1
Trong đó Sc =SD è tính SA – SB = S2 – S1




 PHH sưu tầm và GT - Nguồn bài 1: TK từ vnmath.com