Định lí Ptolemy & Bất đẳng thức Ptolemy

 Định lí Ptolemy & Bất đẳng thức Ptolemy 
1/ Định lí Ptolemy 
Định lí hay Đẳng thức Ptolemy  là đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp đường tròn.Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy(Claudius Ptolemaeus).
Định lí phát biểu:
Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:
( dấu gạch ngang kí hiệu độ dài của các cạnh.)
Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:
Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện.
Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh
Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ÐBAC = ÐBDC, và trên cung AB, ÐADB = ÐACB.
Lấy điểm K trên AC sao cho ÐABK = ÐCBD. 
 Từ ÐABK + ÐCBK = ÐABC = ÐCBD + ÐABD, Þ ÐCBK = ÐABD.
 è DABK ~ DDBC, Tương tự có DABD ~ DKBC.
 è AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
è AK·BD = AB·CD [1], và CK·BD = BC·DA [2],
 Cộng các vế của 2 đẳng thức [1]&[2] có AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; Mà AK+CK = AC, 
 AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh). 
2/ Bất đẳng thức Ptolemy 
là trường hợp tổng quát của định lý Ptolemy đối với một tứ giác bất kỳ. 
Bất đẳng thức Ptolemy: Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptolemy. 
Chứng minh
Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.
Dựng điểm  sao cho  đồng dạng với . Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có
 Þ 
Mặt khác,  và  cũng đồng dạng do có
  &   Þ 
 Þ 
Cộng (1) và (2) ta suy ra
Áp dụng bất đẳng thức tam giác 
 Þ 
Ứng dụng
Định lý Ptolemy có nhiều ứng dụng trong việc giải toán, sau đây chúng ta áp dụng ĐL Ptolemy để chứng minh một số định lý hình học khác. 
Bài1: 
Chứng minh rằng: sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ  
 (với α , β, α + β  là các góc nhọn)
Hướng dẫn.  
Dựng đường tròn đường kính AC và lấy B, D ở hai nửa đường tròn khác nhau sao cho ÐBAC = α và Ð DAC  = β . Khi đó:
sinα cosβ + cosα sinβ = (BC/AC). (AD/AC) + (AB/AC).(CD/AC)
  = (AB.AD + BC.AD)/AC 2  = AC.BD/AC
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và AC = 2AB. Các đường 
thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, C cắt nhau tại P. 
Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của cung BAC. 
Bài 3. (VMO 1997) Trong mặt phẳng, cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm P
nằm trong được tròn (OP = d < R). Trong tất cả các tứ giác lồi ABCD nội tiếp  trong đường tròn (O) và có hai đường chéo AC và BD vuông góc và cắt nhau tại P, hãy tìm tứ giác có chu vi lớn nhất và tứ giác có chu vi nhỏ nhất. 
 Tính các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất này theo R và d. 
PHH sưu tầm và chỉnh lí 3-1-2014 Nguồn TK chính Wikipedia.vn