Dùng phương trình tham số để giải tam giác trong hệ tọa độ Oxy và Oxyz

PHẦN I : MỞ ĐẦU
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng học sinh được học ở lớp 10 THPT và đến chương trình 12 học sinh được học phương pháp tọa độ trong không gian .
Bài toán giải tam giác trong hệ tọa độ Oxy (ở lớp 10) hay trong hệ tọa độ Oxyz (ở lớp 12) thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp , tuyển sinh đại học .
 Việc chọn lựa phương pháp giải các dạng toán này đối với học sinh thường lúng túng , không định hướng được phương pháp , hoặc học sinh học lớp 12 thường quên kiến thức lớp 10 hoặc chưa biết cách vận dụng kiến thức đã học .
Bài toán giải tam giác , giải được nếu biết được tọa độ ba đỉnh của nó (khi đó ta có thể viết được phương trình các cạnh , các trung tuyến , tính được số đo các góc , độ dài các cạnh , chu vi , diện tích của tam giác )
Ta đề cập đến trường hợp bài toán chỉ cho tọa độ 1 đỉnh và hai yếu tố còn lại là phương trình 2 đường cao hoặc phương trình 2 đường trung tuyến hoặc phương trình 2 đường phân giác trong hoặc phương trình 1 đường cao , 1 đường trung tuyến hoặc phương trình 1 đường cao , 1 đường phân giác trong hoặc phương trình 1 đường trung tuyến và 1 đường phân giác trong .
Trong hệ tọa độ Oxy học sinh có thể viết phương trình các cạnh dưới dạng tổng quát rồi suy ra tọa độ giao điểm các cạnh để có được tọa độ các đỉnh . 
Tuy nhiên khi chuyển sang hệ tọa độ Oxyz học sinh sẽ gặp nhiều lung túng . 
 Thực tiễn trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy phương pháp giải bài toán tam giác trong hệ tọa độ Oxyz có thể giải tương tự như trong hệ tọa độ Oxy bằng cách dùng phương trình tham số , tọa độ điểm hình chiếu và điểm đối xứng . 
Nếu học sinh nắm vững phương pháp giải trong hệ tọa độ Oxy dựa vào phương trình tham số thì có thể dễ dàng giải trong hệ tọa độ Oxyz .
Tôi viết đề tài :”Dùng phương trình tham số để giải tam giác trong hệ tọa độ Oxy và Oxyz “.Với mục đích giúp học sinh lớp 10 nắm vững phương pháp giải tam giác trong hệ tọa độ Oxy , sẽ không ngỡ ngàng khi tiếp cận kiến thức tương tự ở lớp 12 . Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn thi tốt nghiệp cũng như ôn thi đại học được tốt hơn . 
PHẦN II : NỘI DUNG 
I/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT LIÊN QUAN 
1/ Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng 
Trong hệ tọa độ Oxy phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là : với : 
2/ Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian 
+Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng qua điểm và có vectơ chỉ phương là : 
với : 
* Chú ý : Nếu biết tọa độ hai điểm A , B thì ta có thể lập được phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A , B
3/Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng 
 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình tham số : 
 	 xét hệ : 
+ Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm , thay t1 vào d1 hoặc t2 vào d2 ta được tọa độ giao điểm 
4/Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau trong không gian 
 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình tham số : 	 
xét hệ : 
Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm
5/ Tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một điểm :
Nếu C1 là điểm đối xứng của C qua điểm M trong mặt phẳng Oxy thì : 
Nếu C1 là điểm đối xứng của C qua điểm M trong không gian Oxyz thì : 
6/ Các bài toán liên quan :
Bài toán 1 : Tìm hình chiếu của một điểm M trên một đường thẳng d :
Cách 1 : 	
B1 : Gọi H là hình chiếu của M trên d suy ra tọa độ của H theo t
	B2 : Tìm tọa độ vectơ theo t , tìm VTCP của d
	B3 : Giải phương trình . = 0 có t suy ra tọa độ H
Cách 2 : 	
B1 : Viết phương trình đường thẳng qua d’ qua M và vuông góc với d 
	B2 : Giải hệ : có tọa độ điểm H 
Bài toán 2 : Tìm điểm đối xứng của một điểm M qua một đường thẳng d 
	B1 : Tìm hình chiếu H của M trên d
	B2 : gọi M’ là hình điểm đối xứng cửa M qua d thì H là trung điểm của đoạn MM’ , dựa vào công thức tọa độ trung điểm suy ra tọa độ M’
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , và hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình d1 : , d2 
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M của C trên d1 và N của C trên d2
Tìm tọa độ điểm đối xứng C1 của C qua d1 và điểm đối xứng C2 của C qua d2
Giải : a) 
C
M
N
A
B
* Tìm tọa độ điểm M
MÎd1 
d1 có vectơ chỉ phương 
Ta có 
Vậy M(2;3)
*Tìm tọa độ N :
NÎd2 
d2 có vectơ chỉ phương 
Ta có 
Vậy 
b) C1 là điểm đối xứng của C qua d1 suy ra M là trung điểm CC1
Do đó Vậy C1(1;4)
 C2 là điểm đối xứng của C qua d2 suy ra N là trung điểm CC2
Do đó Vậy 
Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2;3) , và hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình d1 : , d2 : 
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M của C trên d1 và N của C trên d2
Tìm tọa độ điểm đối xứng C1 của C qua d1 và điểm đối xứng C2 của C qua d2
C
M
N
A
B
Giải : a) 
* Tìm tọa độ điểm M
MÎd1 
d1 có vectơ chỉ phương 
Ta có 
Vậy M(2;3;3)
*Tìm tọa độ điểm N :
NÎd2 
d2 có vectơ chỉ phương 
Ta có 
Vậy 
b) C1 là điểm đối xứng của C qua d1 suy ra M là trung điểm CC1
Do đó Vậy C1(1;4;3)
 C2 là điểm đối xứng của C qua d2 suy ra N là trung điểm CC2
Do đó Vậy 
II/GIẢI TAM GIÁC TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxy
Bài toán tổng quát 1 : 
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết điểm C(a;b) và hai đường thẳng cắt nhau không đi qua C lần lượt có phương trình tham số : 
Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B trong các trường hợp :
	1.1/ là hai đường cao .
	1.2/ là hai đường trung tuyến .
	1.3/ là hai đường phân giác trong góc A , B 
	1.4/ là đường cao , là trung tuyến 
	1.5/ là đường cao , là phân giác trong 
C
M
N
A
B
d1
d2
	1.6/ là trung tuyến , là phân giác trong 
Phương pháp 
1.1/ là hai đường cao . 
Giả sử d1 là đường cao AM , d2 là đường cao BN 
+ Viết phương trình tham số CB :
Cách 1: - Tìm hình chiếu M của C trên d1
	- CB có VTCP là qua C suy ra phương trình tham số CB
Cách 2 : - CB có VTCP là VTPT của d1 đi qua C
+ Giải hệ có tọa độ điểm B 
Tương tự :
+ Viết phương trình tham số CA 
Cách 1: - Tìm hình chiếu N của C trên d2
	- CA có VTCP là qua C suy ra phương trình tham số CA
Cách 2 : CA có VTCP là VTPT của d2 và đi qua C 
+ Giải hệ có tọa độ điểm A 
C
A
B
M
N
1.2/ là hai đường trung tuyến . 
 Giả sử d1: là trung tuyến AM ; d2 là trung tuyến BN 
+ MÎd1 suy ra tọa độ M theo t1 d1 d2 
+ M là trung điểm CB suy ra tọa độ B theo t1 
+ B d2 nên có hệ theo t1 và t2 . Giải hệ có t1 suy ra tọa độ điểm B
Tương tự :
+ NÎd2 suy ra tọa độ N theo t2
+ N là trung điểm CA suy ra tọa độ A theo t2
+ A d1 nên có hệ theo t1 và t2 . Giải hệ có t2 suy ra tọa độ điểm A
* Chú ý : Có thể giải theo cách khác :
+ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ;+ Tìm điểm đối xứng D của C qua G 
+ Viết phương trình đường thẳng qua d’1 qua D song song với d2
+ Viết phương trình đường thẳng qua d’2 qua D song song với d1
+ Giải hệ có tọa độ A ; Giải hệ có tọa độ B 
1.3/ là hai đường phân giác trong góc A , B 
+ Tìm tọa độ điểm C1 là điểm đối xứng của C qua d1 ; C1AB 
+ Tìm tọa độ điểm C2 là điểm đối xứng của C qua d1 ; C2AB
C
M
N
A
C2
C1
B
+Viết phương trình tham số C1C2 là phương trình của AB 
+ Tọa độ của A là nghiệm của hệ : 
+ Tọa độ của B là nghiệm của hệ : d1 d2 
1.4/. là đường cao , là trung tuyến 
M
N
A
B
C
Giả sử d1: là đường cao AM ; d2 là trung tuyến BN 
+ Viết phương trình cạnh CB (như trên) 
+ Giải hệ tìm tọa độ điểm B d1 d2
A
B
C
N
C1
+ Dùng tính chất trung điểm N thuộc BN , N là trung điểm AC và A thuộc AM suy ra tọa độ điểm A 
M
1.5/ là đường cao , là phân giác trong 
Giả sử d1: là đường cao AM ; 
d2 là phân giác trong BN d1 d2
+ Viết phương trình cạnh CB 
+ Giải hệ tìm tọa độ điểm B 
+ Tìm tọa độ điểm C2 là điểm đối xứng của C qua d2 ( C2 thuộc AB)
+ Viết phương trình BC2 (BA)
+ Giải hệ có tọa độ điểm A .
1.6/ là trung tuyến , là phân giác trong 
Giả sử d1: là đường trung tuyến AM ; d2 là phân giác trong BN 
C
M
A
C2
B
N
+ M thuộc d2 , 
 M là trung điểm AC , tọa độ B 
 C thuộc d1 ta suy tọa độ điểm B 
+ Tìm C2 là điểm đối xứng của C qua d2 d1
+ Viết phương trìnhtham số BC2 (BA) d2
+ Giải hệ có tọa độ điểm A 
* Nhận xét : + Học sinh chỉ cần nắm vững ba bài toán 1.1 , 1.2 , 1.3 thì việc giải các bài toán 1.4 , 1.5 , 1.6 đơn giản hơn
2.Bài tập áp dụng 
Bài tập 1.1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , đường cao d1 có phương trình : , đường cao d2 có phương trình 
Tìm tọa độ đỉnh A,B 
C
M
N
A
B
d1
d2
Giải :(tóm tắt)
Gọi d1 là đường cao qua A ; d2 là đường cao qua B
*Tìm tọa độ điểm B 
+Tìm hình chiếu vuông góc của M trên d1 
M(2;3) (Ví dụ 1a)
+CB có VTCP là qua C(3;2)
nên CB có PTTS là : 
( cách khác BC có VTCP là )
+ giải hệ : 
Suy ra B(1;4)
*Tìm tọa độ điểm A :
+Tìm hình chiếu vuông góc của N trên d2 : (Ví dụ 1a)
+CA có VTCP là qua C(3;2) Nên AC có phương trình tham số là (Cách khác :CA có VTCP là ) 
+ giải hệ : 
Suy ra A(-1;0) . Vậy A(-1;0) ; B(1;4)
Bài tập 1.2 . Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , trung tuyến d1 có phương trình : , trung tuyến d2 có phương trình 
C
M
N
A
B
d1
d2
Tìm tọa độ đỉnh A , B 
Giải : Gọi d1 là trung tuyến AM , d2 là trung tuyến BN
*Tìm tọa độ điểm B
+ M thuộc AM nên , 
+M là trung điểm BC Nên 
+B thuộc BN nên có hệ 
 suy ra B(1;4)
*Tìm tọa độ điểm A
+N thuộc BN nên , N là trung điểm AC nên 
A thuộc AM nên có hệ 
Suy ra A(1;2) . Vậy A(1;2) ; B(1;4)
Bài tập 1.3 . 
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , phân giác trong AM có phương trình d1 : , phân giác trong BN có phương trình d2 :
Tìm tọa độ đỉnh A , B
C
M
N
A
B
C2+1
C1
Giải : 
+Gọi C1 là điểm đối xứng của C qua d1
Ta có (Ví dụ 1b)
+Gọi C2 là điểm đối xứng của C d2
Ta có (Ví dụ 1b)
+ AB có VTCP là 
Phương trình AB là : 
+ xét hệ 
Suy ra 
+ xét hệ 
Suy ra . Vậy : ;
Bài tập 1.4 . 
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , đường cao d1 có phương trình : d1 : , trung tuyến d2 có phương trình d2 : 
Tìm tọa độ đỉnh A , B 
Giải : Áp dụng bài tập 1.1 có B(1;4); Áp dụng bài tập 1.2 có A(1;2)
Bài tập 1.5 . 
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , đường cao AM có phương trình d1 : , đường phân giác trong BN có phương trình d2 :
d2
M
C
N
A
B
C2
Tìm tọa độ đỉnh A , B 
Giải :
+ Áp dụng bài tập 1.1 có B(1;4)
+Gọi C2 là điểm đối xứng của C qua d2
Áp dụng ví dụ 1.b có 
 + AB có VTCP là 
Phương trình AB là : 
+ xét hệ 
suy ra . Vậy ;B(1;4)
Bài tập 1.6 . 
C
N
A
B
C1
M
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm C(3;2) , đường trung tuyến AM có phương trình d1 : , đường phân giác trong BN có phương trình d2:. Tìm tọa độ đỉnh A , B
Giải :
Áp dụng bài tập 1.2 có B(1;4)
Áp dụng bài tập 1.5 có 
*Từ các bài toán trên rút ra kinh nghiệm khi giải tam giác trong hệ tọa độ Oxy :	+ Nếu bài toán có liên quan đến đường cao cần chú ý đến điểm hình chiếu của đỉnh đã biết trên đường cao hoặc VTPT của đường cao hoặc tìm để VTCP của cạnh và viết phương trình tham số của cạnh tam giác 
	+ Nếu bài toán có liên quan đến trung tuyến cần lưu ý đến tính chất trung điểm .
	+ Nếu bài toán có yếu tố đường phân giác trong cần lưu ý đến điểm đối xứng của đỉnh đã biết qua đường phân giác trong đó .
III/GIẢI TAM GIÁC TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxyz
Bài toán tổng quát 2 : 
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC biết điểm C(a;b;c) và hai đường thẳng cắt nhau không đi qua C lần lượt có phương trình tham số : 
Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B trong các trường hợp :
	1.1/ là hai đường cao của tam giác .
	1.2/ là hai đường trung tuyến của tam giác.
	1.3/ là hai đường phân giác trong góc A , B 
	1.4/ là đường cao , là trung tuyến của tam giác
	1.5/ là đường cao , là phân giác trong của tam giác
	1.6/ là trung tuyến , là phân giác trong của tam giác 
Phương pháp giải:
Tương tự như giải các bài toán tam giác trong hệ tọa tọa độ Oxy ta chỉ dùng PTTS của đường thẳng trong không gian để giải
2.Bài tập áp dụng 
Bài tập 2.1 . Trong mặt không Oxyz cho điểm C(3;2;3) , đường cao d1 có phương trình : , đường cao d2 có phương trình 
Tìm tọa độ đỉnh A , B 
Giải :
C
M
N
A
B
Giả sử d1 là đường cao qua A d2 là đường cao qua B
*Tìm tọa độ đỉnh B :
+ Tìm hình chiếu M của C trên d1 
M(2;2;3) ( ví dụ 2a)
+CB có VTCP là qua C(3;2;3) 
Do đó phương trình tham số của CB là : 
+ nên xét hệ : suy ra B(1;4;3)
*Tìm tọa độ của A : 
+Gọi N là hình chiếu vuông góc của C trên d2 suy ra N(2;2;4) (ví dụ 2a)
+CA có VTCP là qua C nên có PTTS là : 
+nên xét hệ : suy ra A(1;2;5)
Vậy : A(1;2;5) , B(1;4;3)
*Nhận xét : có thể tìm VTCP của CB , CA theo cách :
+ AM có VTCP là ; BN có VTCP là 
 Mặt phẳng (ABC) có VTPT là 
+
Rõ ràng cách làm này học sinh sẽ khó hiểu và rắc rối hơn . Học sinh chỉ cần nắm vững cách tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng dựa vào PTTS thì có thể giải quyết được bài toán một cách tự nhiên hơn 
Bài tập 2.2 . Trong mặt không Oxyz cho điểm C(3;2;3) , hai đường trung tuyến AM , BN có phương trình d1 : , d2 : 
Tìm tọa độ đỉnh A,B 
Giải :
*Tìm tọa độ đỉnh B : (dựa vào tính chất trung điểm)
M
C
N
A
B
+ M thuộc AM nên 
+ M là trung điểm BC nên 
+ B thuộc BN nên có hệ :
 suy ra B(1;4;3)
*Tìm tọa độ đỉnh A : (dựa vào tính chất trung điểm )
+N thuộc BN nên , 
+N là trung điểm AC nên 
+A thuộc AM nên có hệ 
Suy ra A(1;2;5) . Vậy A(1;2;5) , B(1;4;3)
Bài tập 2.3 . Trong mặt không gian Oxyz cho điểm C(3;2;3) , hai đường phân giác trong AM và BN có phương trình d1 : , d2 : .
C
N
A
B
M
C2
C1
D
 Tìm tọa độ đỉnh A , B 
Giải : 
+Gọi C1 là điểm đối xứng của C qua d1
(Ví dụ 2b)
+Gọi C2 là điểm đối xứng của C qua d2
(Ví dụ 2b)
+ AB có VTCP là 
Phương trình tham số của AB là : 
+ xét hệ 
Suy ra 
+ xét hệ 
Suy ra . Vậy , 
Bài tập 2.4 . Trong mặt không Oxyz cho điểm C(3;2;3) , đường cao AM có phương trình d1 : , trung tuyến BN là d2 : 
C
M
N
A
B
Tìm tọa độ đỉnh A , B 
Giải :
+ Áp dụng bài tập 2.1 có B(1;4;3)
+ Áp dụng bài tập 2.2 có A(1;2;5)
Bài tập 2.5 . Trong không gian Oxyz cho điểm C(3;2;3) 
 đường cao AM có phương trình d1: , đường phân giác trong BN có phương trình d2 : . Tìm tọa độ các đỉnh A , B
C
M
N
A
B
C2
Giải 
+ Áp dụng bài tập 2.1 có B(1;4;3)
+Gọi C2 là điểm đối xứng của C qua d2
(Ví dụ 2b)
+ AB có VTCP là 
Phương trình AB là : 
+ xét hệ 
suy ra .Vậy , B(1;4;3)
Bài tập 2.6 . Trong mặt không Oxyz cho điểm C(3;2;3) , trung tuyến AM có phương trình d1 : , đường phân giác trong BN có phương trình d2: . Tìm tọa độ đỉnh B , C 
Giải 
C
M
N
A
B
C2
+Áp dụng bài tập 2.2 có B(1;4;3)
+Áp dụng bài tập 2.5 có 
Vậy , B(1;4;3)
*Nhận xét : 
Phương pháp giải tam giác trong hệ tọa độ Oxyz hoàn toàn tương tự như trong hệ tọa độ Oxy . Học sinh chỉ cần nắm vững cách giải các bài toán tương tự trong mặt phẳng suy ra các bài toán 2.1, 2.2,2.3 . Từ các bài toán này có thể giải được các bài 2.4 , 2.5 ,2.6
PHẦN III : KẾT LUẬN 
Có thể có nhiều phương pháp giải bài toán tam giác trong hệ tọa độ Oxy , hay hệ tọa độ Oxyz . Nhưng theo tôi , với việc chọn lựa phương trình tham số để giải quyết các bài toán trên thật là đơn giản , rất tự nhiên , minh bạch và dễ sử dụng . Hơn nữa khi bài toán cho d1 hoặc d2 dưới dạng chính tắc hoặc tổng quát ta có thể chuyển về dạng PTTS để giải .
Đặc biệt khi chuyển từ phương pháp tọa độ trong mặt phẳng sang phương pháp tọa độ trong không gian , học sinh vận dụng không hề lúng túng , học sinh dễ dàng nhớ cách làm trong mặt phẳng để suy ra cách làm trong không gian .
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm , học sinh chỉ cần nắm vững được phương pháp giải bài toán 1.1,1.2,1.3 thì có thể giải được các bài toán 1.4, 1.5 ,1.6 , 2.1 , 2.2 , 2.3 , 2.4 , 2.5 , 2.6 hoàn toàn bằng cách tương tự. Nói chung là giải quyết được lớp các bài toán tam giác trong hệ tọa độ Oxy và Oxyz chỉ dựa vào phương trình tham số .
Đề tài không tránh khỏi thiếu sót , rất mong sự góp ý của đồng nghiệp
TÀI LIỆU THAM KHẢO :
1/ Sách giáo khoa hình học lớp 10
	2/ Sách giáo khoa hình học lớp 12
MỤC LỤC 
1) Phần mở dầu :	Trang 2
2) Tóm tắt lý thuyết liên quan 	Trang 3
3) Giải tam giác trong hệ tọa độ Oxy	Trang 5
4) Giải tam giác trong hệ tọa độ Oxyz	Trang 13
5) Phần kết luận 	Trang 17