Ðề cương thi tuyển cao học môn: Ðại Số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO 
ðẠI HỌC HUẾ 
ðỀ CƯƠNG THI TUYỂN CAO HỌC 
Mụn: ðẠI SỐ 
Chuyờn ngành: KHOA HỌC TỰ NHIấN 
I. Yờu cầu: ðảm bảo bao quỏt toàn bộ ủề cương, gồm kiến thức cơ bản, khả năng 
vận dụng và tổng hợp. ðề thi ủảm bảo tớnh khoa học, chớnh xỏc, chặt chẽ, phự hợp với 
trỡnh ủộ chung của thớ sinh và cú tớnh phõn loại tốt. 
II. Nội dung 
Phần A: ðại số tuyến tớnh 
1. Khụng gian vộc tơ: ủộc lập và phụ thuộc tuyến tớnh, cơ sở; khụng gian con, 
khụng gian thương; hạng của một hệ vộc tơ; tọa ủộ của vộc tơ ủối với cơ sở; 
2. Ánh xạ tuyến tớnh: ảnh và hạt nhõn; ủơn cấu, toàn cấu, ủẳng cấu; ủịnh lý về ủồng 
cấu; hạng của ỏnh xạ tuyến tớnh. 
3. Ma trận-ðịnh thức: cỏc phộp toỏn trờn ma trận, cỏc phộp biến ủổi sơ cấp, ma trận 
nghịch ủảo; vành cỏc ma trận, nhúm tuyến tớnh tổng quỏt; ỏnh xạ ủa tuyến tớnh thay phiờn, 
ủịnh thức của ma trận và ỏnh xạ tuyến tớnh; hạng của ma trận. 
4. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh: hệ phương trỡnh Cramer, cụng thức Cramer; hệ thuần 
nhất, hệ tổng quỏt, phương phỏp khử Gauss; ủịnh lý Kronecker-Capelli. 
Phần B: ðại số tuyến tớnh (tiếp theo) 
1. Vộc tơ riờng, giỏ trị riờng; ma trận chộo húa ủược. 
2. Dạng toàn phương và song tuyến tớnh: phõn loại dạng toàn phương thực; ủịnh lý 
về chỉ số quỏn tớnh. 
3. Khụng gian vộc tơ Euclid: cơ sở trực chuẩn; biến ủổi trực giao, nhúm cỏc ma trận 
trực giao; chộo húa cỏc phộp biến ủổi ủối xứng. 
Phần C: Nhúm 
1. Nhúm: nhúm con, nhúm con sinh bởi 1 tập; nhúm xyclic. 
2. Nhúm con chuẩn tắc, nhúm thương. 
3. ðồng cấu nhúm: ảnh và hạt nhõn; ủịnh lý phõn tớch ủồng cấu. 
4. Nhúm hữu hạn: ủịnh lý Lagrange và cỏc hệ quả. 
5. Nhúm ủối xứng và nhúm thay phiờn. 
Phần D: Vành, vành ủa thức và trường 
1. Vành, vành con, iủờan: vành con và iủờan sinh bởi 1 tập; ủặc số của vành; iủờan 
nguyờn tố và cực ủại; vành thương. 
2. ðồng cấu vành: ảnh và hạt nhõn; ủịnh lớ phõn tớch ủồng cấu. 
3. Miền nguyờn Gauss, miền nguyờn chớnh, miền nguyờn Euclid: ước chung lớn 
nhất; phần tử bất khả quy và nhõn tử húa. 
4. Trường và trường cỏc thương của miền nguyờn. 
5. Vành ủa thức 1 biến: cấu trỳc của vành ủa thức; nhỳng vành vào vành ủa thức 
một biến siờu việt; phộp chia Euclid trong vành ủa thức; nghiệm của ủa thức; vành ủa 
thức trờn một trường. 
6. ða thức bất khả quy: nhõn tử húa trong vành ủa thức 1 ẩn; cỏc tiểu chuẩn bất khả 
quy và nhõn tử húa trong cỏc vành ủa thức trờn vành cỏc số nguyờn, trờn trường số hữu tỉ, 
thực và phức. 
III. Bài tập: Ứng với cỏc nội dung nờu trờn. 
IV. Tài liệu tham khảo chớnh 
1. Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ (1980), Bài tập ủại số, Nxb KH&KT, Hà Nội. 
2. Hoàng ðức Nguyờn, Phan Văn Hạp, Lờ ðỡnh Thịnh, Lờ ðỡnh ðịnh (1998), ðại 
số tuyến tớnh, Phần bài tập, Nxb KH&KT, Hà Nội. 
3. Ngụ Thỳc Lanh (1985), ðại số, tập 1, 2 & 3, Nxb Giỏo dục, Hà Nội. 
4. Hoàng Xuõn Sớnh (1970), ðại số ủại cương, Nxb Giỏo dục, Hà Nội. 
5. Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), ðại số tuyến tớnh, Nxb ðHQG Hà Nội. 
6. Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), ðại số ủại cương, Nxb Giỏo dục, Hà Nội. 
7. Lờ Thanh Hà (2000), ða thức và nhõn tử húa, Nxb Giỏo dục, Hà Nội. 
8. Lờ Tuấn Hoa, ðại số tuyến tớnh qua bài tập và vớ dụ. 
V. Ghi chỳ: ðề thi ứng với ủề cương này gồm: 
Cõu 1: thuộc kiến thức Phần A: 2,5 ủiểm 
Cõu 2: thuộc kiến thức Phần B: 2,5 ủiểm 
Cõu 3: thuộc kiến thức Phần C: 2,5 ủiểm 
Cõu 4: thuộc kiến thức Phần D: 2,5 ủiểm. 
Huế, ngày 13 thỏng 2 năm 2007 
Trưởng Tiểu ban chỉnh sửa ðC Hiệu trưởng 
 PGS. TS Lờ Văn Hạp 
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO 
ðẠI HỌC HUẾ 
ðỀ CƯƠNG THI TUYỂN CAO HỌC 
Mụn: GIẢI TÍCH 
Chuyờn ngành: KHOA HỌC TỰ NHIấN 
I. Yờu cầu: ðảm bảo bao quỏt toàn bộ ủề cương, gồm kiến thức cơ bản, khả năng 
vận dụng và tổng hợp. ðề thi ủảm bảo tớnh khoa học, chớnh xỏc, chặt chẽ, phự hợp với 
trỡnh ủộ chung của thớ sinh và cú tớnh phõn loại tốt. 
II. Nội dung 
Phần A: Phộp tớnh vi phõn và tớch phõn của hàm số 
1. Tớnh liờn tục và liờn tục ủều của hàm nhiều biến số. 
2. Tớnh khả vi và ủạo hàm riờng cỏc cấp của hàm nhiều biến. Bổ ủề Schwarz. ðịnh 
lý hàm ẩn. Cực trị. 
3. Tớch phõn bội, tớch phõn ủường, tớch phõn mặt. 
4. Tớch phõn Lebesgue. Cỏc ủịnh lý chuyển qua giới hạn dưới dấu tớch phõn. 
5. Chuỗi số. 
6. Dóy hàm và chuỗi hàm: sự hội tụ, miền hội tụ. Chuỗi lũy thừa và cỏc tớnh chất cơ 
bản của nú. 
Phần B: Khụng gian metric 
1. Khỏi niệm và sự hội tụ. 
2. Tụpụ trong khụng gian metric: lõn cận, tập mở, tập ủúng, ủiểm trong, ủiểm dớnh, 
ủiểm tụ, ủiểm biờn. 
3. Khụng gian metric ủầy ủủ. Nguyờn lý Cantor về dóy hỡnh cầu ủúng thắt dần. 
ðịnh lý Bair về phạm trự. Nguyờn lý ỏnh xạ co và ứng dụng. 
4. Tập compact và khụng gian compact. Mối liờn hệ giữa tớnh compact và tớnh hoàn 
toàn bị chặn. ðịnh lý Heine - Borel. 
5. Ánh xạ liờn tục. Cỏc tớnh chất của ỏnh xạ liờn tục trờn tập compact. 
Phần C: Khụng gian ủịnh chuẩn 
1. Khụng gian ủịnh chuẩn: ủịnh nghĩa và cỏc tớnh chất cơ bản. Khảo sỏt một số 
khụng gian cụ thể chẳng hạn C[a,b], lp , 1 ≤ p ≤ ∞. 
2. Toỏn tử tuyến tớnh liờn tục. Khụng gian cỏc toỏn tử tuyến tớnh liờn tục. Khụng 
gian liờn hiệp. Toỏn tử liờn hiệp. 
3. Ba nguyờn lý cơ bản của giải tớch hàm. 
Phần D: Khụng gian Hilbert 
1. Khụng gian Hilbert: ủịnh nghĩa và cỏc tớnh chất cơ bản. 
2. Hệ trực giao và hệ trực chuẩn. 
3. Phộp chiếu trực giao. ðịnh lý Riesz về biểu diễn phiếm hàm tuyến tớnh. 
4. Hội tụ yếu. 
5. Toỏn tử liờn hiệp và toỏn tử tự liờn hiệp. 
III. Bài tập: Ứng với cỏc nội dung nờu trờn. 
IV. Tài liệu tham khảo chớnh 
1. Phan ðức Chớnh (1978), Giải tớch hàm, tập 1, Nxb ðH & THCN, Hà Nội. 
2. Nguyễn Xuõn Liờm (1994), Giải tớch hàm, Nxb Giỏo dục, Hà Nội. 
3. Nguyễn Xuõn Liờm (2000), Bài tập Giải tớch hàm, Nxb Giỏo dục, Hà Nội. 
4. Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng Giải tớch, tập 1 & 2, Nxb ðHQG Hà nội. 
5. Liasko và nhiều tỏc giả (1979), Giải tớch toỏn học - Cỏc vớ dụ và bài toỏn, tập1 & 
2, Nxb ðH & THCN, Hà Nội. 
6. Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tớch hàm, Nxb ðHQG Hà Nội. 
V. Ghi chỳ: ðề thi ứng với ủề cương này gồm: 
Cõu 1: thuộc kiến thức Phần A: 4 ủiểm 
Cõu 2: thuộc kiến thức Phần B: 2 ủiểm 
Cõu 3: thuộc kiến thức Phần C: 2 ủiểm 
Cõu 4: thuộc kiến thức Phần D: 2 ủiểm. 
Huế, ngày 13 thỏng 02 năm 2007 
 Trưởng Tiểu ban chỉnh sửa ðC Hiệu trưởng 
 PGS. TS Lờ Văn Hạp