Ðề thi chọn lớp 11 chất lượng cao năm học 2013-2014 môn thi: toán học (thời gian làm bài: 60 phút)

SỞ GD-ðT BẮC NINH 
TRƯỜNG THPT YấN PHONG SỐ 2 
---------------------- 
ðỀ THI CHỌN LỚP 11 CHẤT LƯỢNG CAO 
NĂM HỌC 2013-2014 
MễN THI: TOÁN HỌC 
(Thời gian làm bài: 60 phỳt) 
Bài 1 (2.0 ủiểm) 
Giải bất phương trỡnh 25 1 1 .x x− ≥ + 
Bài 2 (3.5 ủiểm) 
1) Chứng minh rằng 4 4 21sin cos 1 sin , .
2 2 2
x x
x x+ = − ∀ ∈ℝ 
2) Cho ABC∆ cú nửa chu vi 3p = và 2 2 2 9,a b cm m m+ + = với , ,a b cm m m lần lượt là ủộ dài 
cỏc ủường trung tuyến của ABC∆ kẻ từ cỏc ủỉnh , , .A B C Tớnh diện tớch của ABC∆ . 
Bài 3 (1.5 ủiểm) 
Cho hai số thực ,a b thỏa món 2 22 1.a b− = Chứng minh rằng 2 22 2 .a b b a+ + > 
Bài 4 (3.0 ủiểm) 
Trong mặt phẳng tọa ủộ Oxy cho ABC∆ cú ba ủỉnh (1; 1), ( 2;2), (1 5;0),A B C− − + và cú 
( )T là ủường trũn ngoại tiếp. 
1) Viết phương trỡnh ủường trũn ( ).T 
2) Tỡm ủiểm M sao cho từ M kẻ ủược hai tiếp tuyến với ( )T và hai tiếp tuyến ủú vuụng 
gúc với nhau, ủồng thời biểu thức 2.MA MB IM MG+ − −
   
 ủạt giỏ trị nhỏ nhất, ở ủú I là 
tõm ủường trũn ( )T và G là trọng tõm của .ABI∆ 
========== HẾT ========== 
ðÁP ÁN 
Bài 1 (2.0 ủiểm) [ )2 2 2 2 15 1 1 5 1 2 1 2 1 0 ; 1; .
2
x x x x x x x x
 
− ≥ + ⇔ − ≥ + + ⇔ − − ≥ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ 
 
2.0 
ủiểm 
Bài 2 (3.5 ủiểm) í 1 ủược 2 ủiểm, ý 2 ủược 1.5 ủiểm. 
1) 4 4 2 2 2 2 2 21sin cos (sin cos ) 2sin cos 1 sin .
2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x+ = + − = − 
2.0 
ủiểm 
2) Gọi , ,a b c lần lượt là ủộ dài cỏc cạnh ủối diện ủỉnh , ,A B C và S là diện tớch của .ABC∆ Ta cú 
2 6.a b c p+ + = = ðồng thời, nhờ cụng thức về ủộ dài ủường trung tuyến trong tam giỏc, ta cú 2 2 2a b c+ + = 
2 2 24 4( ) .9 12.
3 3a b c
m m m= + + = = 
0.5 
ủiểm 
Ta cú 
2
4
3
a b c+ + 
= 
 
 và 
2 2 2
4
3
a b c+ +
= nờn 
2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 0
3 3
a b c a b c
a b b c c a+ + + +  = ⇔ − + − + − = 
 
( )2 .a b c⇔ = = = Suy ra ABC∆ là tam giỏc ủều, cạnh bằng 2. 
0.5 
ủiểm 
Diện tớch ABC∆ là 01 .sin 60 3.
2
S ab= = 0.5 
ủiểm 
Bài 3 (1.5 ủiểm) ðặt 2 2 ,m a b b m a= + ⇒ = − thế vào ủẳng thức 2 22 1a b− = ta ủược 2 22 4 1 0 (1).a ma m− + + = 0. 5 
ủiểm 
Coi (1) là phương trỡnh bậc hai ẩn a và m là tham số. Phương trỡnh này cú nghiệm khi 2' 2 2 0m∆ = − ≥ hay 
1.m ≥ Tức là 2 22 2 (2).a b a b+ ≥ − 
0.5 
ủiểm 
Mặt khỏc, với mọi ,a b ta luụn cú 2 2 (3).a b a b+ ≥ + Từ (2) và (3) suy ra 2 22 2 (4).a b b a+ + ≥ Dấu “=” 
ở (4) xảy ra khi 
2 2
0, 2 1
.
2 1
ab a b
a b
 ≥ + =

− =
 Hệ này vụ nghiệm. Vậy 2 22 2 .a b b a+ + > 
0.5 
ủiểm 
Bài 4 (3.0 ủiểm) í 1 ủược 2 ủiểm, ý 2 ủược 1 ủiểm. 
1) Giả sử (T) cú phương trỡnh dạng 2 2 2 2 0,x y ax by c+ − − + = với 2 2 0.a b c+ − > Vỡ , , ( )A B C T∈ nờn 
2 2 2, 4 4 8
1, 2, 4.
2(1 5) 6 2 5
a b c a b c
a b c
a c
− − = − + = −
⇔ = = = −
+ − = +
 Vậy 2 2( ) : 2 4 4 0.T x y x y+ − − − = 
2.0 
ủiểm 
2) ðường trũn (T) cú tõm (1;2)I và bỏn kớnh 3.R = Giả sử từ M kẻ ủược hai tiếp tuyến ,MD ME tới ( ),T với 
,D E là tiếp ủiểm, thỡ , , 3.ID MD IE ME ID IE⊥ ⊥ = = Theo ủề bài .MD ME⊥ Do ủú IDME là hỡnh vuụng 
cú cạnh bằng 3. Suy ra ủộ dài ủường chộo 3 2.IM = Nghĩa là M nằm trờn ủường trũn ( )S tõm (1;2)I , bỏn 
kớnh 3 2.r = 
0.5 
ủiểm 
Với G là trọng tõm ABI∆ thỡ 3. .MA MB MI MG+ + =
   
 Dẫn tới 2. .MA MB IM MG MG+ − − =
    
 Ta cú (0;1).G ðể 
biểu thức 2.MA MB IM MG MG+ − − =
   
 ủạt giỏ trị nhỏ nhất thỡ M phải là giao ủiểm của tia IG với ủường 
trũn (S). ðường trũn ( )S cú phương trỡnh 2 2( 1) ( 2) 18.x y− + − = ðường thẳng IG cú phương trỡnh 1 .
2
x t
y t
= −

= −
Từ ủú tỡm ra hai giao ủiểm của ủường thẳng IG và ủường trũn ( )S là ( 2; 1), (4;5).− − ðiểm M cần tỡm sẽ là 
một trong hai ủiểm ủú, sao cho hai vector ,IG IM
 
 cựng hướng. Vậy ( 2; 1).M − − 
0.5 
ủiểm