Giải 10 bài toán diện tích luyện học sinh giỏi lớp 5

Giải 10 bài toán diện tich luyên HSG lớp 5

I.- Giới thiệu

Chương trinh Toán tiểu học, HS mới chỉ làm quen với hình học qua hình tam giac, hình vuông, hình thoi, hình tròn; nhưng đã gặp nhiều đề thi liên quan đến diện tich. Tài liệu này giới thiệu 12 đề thi từ dễ đến khó mà khi giải có tính diện tích hình tròn, hình vuông. Trong đó đã sưu tầm 1 số đề thi HSG toán của nhiều nước trong Khu vực Đông nam á (Singapor, indonesia, hồng kong..) . Đây là những đề toán hay, có hình biến hóa, liên quan với nhau.
Các đề toán dạng này chỉ cần nắm chắc công thức và biết suy luận thì giải không khó lắm.

II.- bài toán



Hỡnh 1a
Bài 1a. 
Hình vuông ABCD là có chu vi = 20 cm. Hỡnh trũn
Tõm O chứa vừa khớt (Nội tiếp) trong hỡnh vuụng; Phần
Tụ màu là phần cũn lại của hỡnh vuụng (Hỡnh 1a) 
Tính diện tích phần tô màu trong hình vuông đó.

 Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy: AB = 20:4 = 5 (Cm)
 Diện hỡnh vuụng S1= AB xAB = 5 x 5 = 25 ( Cm2 )
 Đường kính hình tròn (d) bằng cạnh của hình vuông: d = AB = 5 (Cm)
 ố r = 2,5 cm ố diện tích hình tròn là :
 S 2 = 2,5 x2.5 x 3,14 = 19,62(cm2). 

Hỡnh 1b
 Vậy Diện tích phần tô màu là
 S = S1 - S2 = 25 – 19,62 = 5,38 ( cm2.) ĐS

Bài 1b. ABCD là hình vuông 
có chu vi là 20 cm (Hình 1b). Từ 4 đỉnh A,B,C,D lấy 
làm tõm vẽ 4 cung trũn cú bỏn kớnh r = ẵ cạnh AB
Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD.

Hướng giải
Dễ dàng chứng tỏ được rằng diện tích 4 hình quạt trong
 hình vuông = diện tích 1 hình tròn r = 1/2 AB ố diện tích phần đã tô màu của hình 1b = diện tích phần đã tô màu của 1a = 5,38 ( cm2.) 

Bài 2a. Cho ABCD là hình vuông có cạnh là 10cm. Tính diện tích hình “chiếc lá” (phần tô màu) có trong hình vuông. Biết hình “chiếc lá” tạo bởi một phần tư hình tròn tâm A, bán kính AB và một phần tư hình tròn tâm C, bán kính CB.
 Phân tích : Diện tích hình “chiếc lá” bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình (1) và (2).
 Giải : Diện tích một phần tư hình tròn tâm C, bán kính CB là : 10 x 10 x 3,14 : 4 = 78,5 (cm2).

 
 Hình 2
Diện tích hình (1) là : 10 x 10 – 78,5 = 21,5 (cm2).
Tương tự ta tính được diện tích hình (2) là 21,5 (cm2).
Diện tích hình “chiếc lá” là : 10 x 10 – (21,5 + 21,5) = 57 (cm2). ĐS
 Bài 3. Trong hình 3, hình vuông có cạnh dài 14cm. Trên mỗi cạnh có dựng một nửa hình tròn bán kính 7cm với tâm là trung điểm của cạnh đó. Tìm diện tích miền được tô trên hình đó. 

(Đề thi Olympic toán Đông Nam á, năm 2003)

 Phân tích : Diện tích miền được tô màu bằng diện tích 

 Hình 3
hình vuông trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3) và (4). Theo bài toán , ta có :
Diện tích hình (1) và (2) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2).
Diện tích hình (3) và (4) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2).
Diện tích miền được tô màu là : 14 x 14 – (42,14 + 42,14) = 111,72 (cm2) ĐS.
 Bài 4. Tính diện tích phần tô màu ở hình 4 bên. Biết đường chéo Ac của hình vuông ABCD là 10cm.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình tròn có bán kính bằng 1/2 đường chéo của hình vuông trừ đi diện tích hình vuông.
 Giải : Diện tích hình vuông ABCD là :
10 x 5 = 50 (cm2).
Diện tích hình tròn là : 5 x 5 x 3,14 = 78,5 (cm2).


Hình 4

Diện tích phần tô màu là : 78,5 – 50 = 28,5 (cm2). ĐS
Bài 5. Hình 5 các hình (I), (II) và (III) là ba nửa hình tròn bán kính khác nhau. Biết rằng tỉ lệ các đường kính của (I), (II) và (III) là 3 : 4 : 5 và diện tích của hình (III) là 24cm2. Tìm tổng diện tích của hình (I) và (II).
(Thi toán quốc tế Tiểu học - Hồng Kông)
 Phân tích : Tỉ lệ các đường kính của (I), (II) và (III) là 3 : 4 : 5 có nghĩa là nếu ta xem độ dài đường kính của hình (I) là 3 phần bằng nhau thì độ dài đường kính của hình (II) và hình (III) lần lượt là 4 phần và 5 phần như thế. Vì vậy nếu ta coi độ dài đường kính của


(I)



(II)



(III)


Hình 5 (I; II;III; IV)
hình (III) là d thì độ dài đường kính của hình (I) và (II) lần lượt là x d và x d. 
Giải :Diện tích hình (I) là : (x d) x (x d) x 3,14 : 8 = x d x d x 3,14 : 8 (cm2).
Diện tích hình (II) là : (x d) x (x d) x 3,14 : 8 = x d x d x 3,14 : 8 (cm2).
Diện tích hình (III) là : d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm2).
Tổng diện tích của hình (I) và (II) là : 
x d x d x 3,14 : 8 + x d x d x 3,14 : 8 = d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm2). ĐS

 Bài 6. Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết (phần tô màu) ở hình 6 bên. Biết cạnh AC dài 3cm, cạnh AB dài 4cm và cạnh BC dài 5cm. Tam giác ABC có góc A là góc vuông.

 Phân tích : Tổng diện tích hai hình trăng khuyết bằng

Hình 6
tổng diện tích tam giác ABC, diện tích hình tròn đường kính AB, diện tích hình tròn đường kính AC trừ đi diện tích hình tròn đường kính CB.
 Giải : Diện tích hình tròn đường kính CB là : 5 x 5 x 3,14 : 4 : 2 = 9,8125 (cm2).
Diện tích tam giác ABC là : 3 x 4 : 2 = 6 (cm2).
Diện tích hình tròn đường kính AB là : 4 x 4 x 3,14 : 4 : 2 = 6,28 (cm2).
Diện tích hình tròn đường kính AC là : 3 x 3 x 3,14 : 4 : 2 = 3,5325 (cm2).
Tổng diện tích hai hình trăng khuyết là : (6 + 6,28 + 3,5325) – 9,8125 = 6 (cm2).
Bài 7. Trong hình vẽ bên, AC là đường kính của đường tròn tâm O. Tam giác ACB là tam giác cân (AC = CB) có góc C là góc vuông. D là điểm trên AB. Cung CD là một phần của đường tròn tâm B. Biết AC = 10cm. Hãy tìm diện tích phần tô màu.

(Thi toán quốc tế Tiểu học - Hồng Kông)
 Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình

 Hình 7
tròn đường kính AC trừ đi diện tích phần trắng nằm trong hình tròn. Diện tích phần trắng nằm trong hình tròn bằng diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích cung CD.

 Giải : Diện tích hình tròn đường kính AC là : 10 x 10 x 3,14 : 4 = 78,5 (cm2).
Diện tích tam giác ABC là : 10 x 10 : 2 = 50 (cm2).
Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại góc C nên diện tích cung CD bằng diện tích hình tròn tâm B bán kính BC và bằng : 10 x 10 x 3,14 : 8 = 39,25 (cm2).
Diện tích phần trắng nằm trong hình tròn là : 50 – 39,25 = 10,75 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : 78,5 – 10,75 = 67,75 (cm2). ĐS

Bài 8. Hình 8 bên cho ta 4 hình vuông cạnh 10cm. Hình tô đậm giới hạn bởi các đường tròn.
Tính diện tích phần tô màu.
(Đề thi Olympic toán Singapore, năm 1997)
Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình
3
1
2
 
 Hình 8
hình tròn có bán kính bằng cạnh của hình vuông lớn trừ đi diện tích các hình (1), (2) và (3). Dựa vào hình vẽ ta thấy tổng diện tích hình (2) và hình (3) bằng diện tích hình (1) và bằng diện tích hình vuông cạnh 10cm.
 Giải : Cạnh hình vuông lớn là : 10 + 10 = 20 (cm)
Diện tích hình hình tròn có bán kính bằng cạnh của hình vuông lớn là :
20 x 20 x 3,14 : 4 = 314 (cm2).
Diện tích các hình (1), (2) và (3) là : 10 x 10 x 2 = 200 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : 314 – 200 = 114 (cm2).

 Bài 9. Hình 9 bên được tạo bằng cách vẽ các nửa hình tròn bên trong các hình vuông. Bán kính của ba loại nửa hình tròn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm. 
 Hỏi tổng diện tích phần tô màu bằng bao nhiêu xăng-ti-mét vuông ?

(Thi toán quốc tế Tiểu học ở Hồng Kông)

Phân tích : Tổng diện tích phần tô màu chính là tổng diện tích các hình (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12). Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích các

 Hình 9
hình (5) và (6) ; (7) và (8) ; (9) và (10) ; (11) và (12) đều bằng nhau và đều bằng diện tích một nửa hình tròn có bán kính là 2cm. Suy ra tổng diện tích các hình (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) bằng hai lần diện tích hình tròn có bán kính là 2cm.
 Giải : Vì bán kính của ba loại nửa hình tròn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm nên cạnh hình vuông lớn là 4 x 2 = 8 (cm). 
Diện tích hình vuông lớn là : 8 x 8 = 64 (cm2).
Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4cm là : 4 x 4 x 3,14 = 50,24 (cm2).
Diện tích các hình (1), (2), (3) và (4) là : 64 – 50,24 = 13,76 (cm2).
Diện tích các hình (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) là :
2 x (2 x 2 x 3,14) = 25,12 (cm2).
Tổng diện tích phần tô màu là : 13,76 + 25,12 = 38,88 (cm2). ĐS


 Bài 10. Trong các hình dưới đây, diện tích của mỗi hình vuông lớn là 1cm2. Diện tích của hình vuông nhỏ hơn trong hình thứ hai bằng diện tích hình vuông lớn hơn. Diện tích của hình vuông nhỏ nhất trong hình thứ ba bằng diện tích hình vuông lớn thứ hai, cứ tiếp tục như vậy. Hãy tìm diện tích của hình tròn được tô đậm trong hình vuông thứ năm.

 S1 





 
 S2

 S3 ........





(Thi toán quốc tế Tiểu học ở In-đô-nê-xi-a, năm 2004)
 Giải : Theo đầu bài ta có : 
S1 hình tròn được tô đậm trong hình thứ nhất là : 1 x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). 
S2 hình tròn được tô đậm trong hình thứ hai là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). 
S3 hình tròn được tô đậm trong hình thứ ba là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). 
S4 hình tròn được tô đậm trong hình thứ tư là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). 
S5 hình tròn được tô đậm trong hình năm là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2).