Giải bài toán bằng nhiều cách

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH
	Việc giải bài toán bằng nhiều cách cũng là một phương pháp học tương đối hiệu quả. Trong kỳ thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh THCS tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 – 2014 có bài toán như sau:
Bài toán:
 Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh CD sao cho CM = 2DM. Gọi E là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng BD. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm E xuống cạnh AD, O và N lần lượt là trung điểm của DE và BC.
Chứng minh:
	a) Tứ giác ABOH nội tiếp đường tròn.
	b) Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN
 Sau đây tôi xin nêu một số cách giải cho câu b .
Cách 1: 
Gọi K là giao điểm của CE với AD
Ta có: (c.g.c)
Mà (so le trong)
nên (1)
Gọi I là giao điểm của HE với BC, ta có:
 Suy ra I là trung điểm của CN. 
Khi đó cân tại E nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Do đó, tứ giác EMCN nội tiếp
Mà nên 
Hay 
Cách 2: 
Đặt cạnh hình vuông bằng a. Khi đó:
; 
Do đó: CN + CM + MN = 2a
Trên tia đối của tia BC lấy điểm K, sao cho:
KB = DM. Ta có: , suy ra:
 do đó: 
Ta có: (c.c.c) 
Vậy tứ giác AENB nội tiếp
(Vì có )
Mà nên 
Vậy 
Cách 3: 
Ta có: 
Suy ra 	 (1)
Lại có:
Suy ra: (2)
Từ (1) và (2) ta có:
. Khi đó: và đồng dạng với nhau
. Suy ra tứ giác AENB nội tiếp. 
 Mà nên 
Vậy 
Cách 4:
Lấy các điểm K, P trên cạnh BC sao cho
BK = KN = NP = PC. Kẻ NKI//NH//PE(hình vẽ)
Ta có: NH = 
 IK = 
 EP= 
 NP = 
Do đó: 
 Suy ra 
 Suy ra tứ giác EMCN nội tiếp
Mà nên 
 Hay 
Cách 5: Kẻ .
Ta có: 
Suy ra: . Mà 
Do đó: và đồng dạng với nhau
 .Suy ra tứ giác AENB nội tiếp. 
Mà nên 
Vậy 
Cách 6: Chứng minh tam giác AEO đồng dạng với tam giác ANB
Ta có:
Suy ra tứ giác AENB nội tiếp
Mà nên 
Vậy 
Nhận xét: Thực chất đây là bài toán quen thuộc với những bạn thích học toán, thậm chí bài toán có tính 2 chiều. Chắc chắn còn có cách giải khác nữa mong các bạn tiếp tục bổ sung.
 Trong cách 2 ta thấy CN + CM + MN = 2a. Từ đây ta có thể phát biểu bài toán tổng quát như sau:
 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Điểm M trên cạnh CD sao cho CM = m.a, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho CN = n.a. Gọi E là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng BD. 
 Biết rằng m, n là các số hữu tỉ.
 Chứng minh:
Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN
Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một đường tròn cố định
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.
Tác giả: Phan Đình Ánh
Giáo viên: Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà – Hà Tĩnh.
Điện thoại: 0986 381 089
Email: dinhanhtk@gmail.com