Giải Tích 12-Chuyên đề Số phức

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO
GIẢI TÍCH 12
*CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC *
§1. Số phức
A-Tóm tắt lý thuyết:
1, Khái niệm số phức:
*Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng , trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn . Kí hiệu số phức đó là z và viết .
 i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức .
 Tập hợp các số phức được kí hiệu là .
 *Chú ý: + Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo .
 + Số phức có được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
 + Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
*Định nghĩa 2: Hai số phức () và () được gọi là bằng nhau nếu : và . Khi đó, ta viết: .
2, Biểu diễn hình học số phức:
Mỗi số phức () được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại mỗi điểm biểu diễn một số phức 
 Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức. Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.
3, Phép cộng và phép trừ số phức:
*Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức , () là số phức .
*Tính chất của phép cộng số phức:
i, với mọi 
ii, với mọi iii, với mọi 
iv, Với mỗi số phức (), nếu kí hiệu số phức là thì ta có: . Số được gọi là số đối của số phức .
*Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức , () là tổng của hai số phức và , tức là: .
*Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
Mỗi số phức () được biểu diễn bởi cũng có nghĩa là véc tơ . Khi đó nếu theo thứ tự biểu diễn số phức thì:
 + biểu diễn số phức 
 + biểu diễn số phức 
4, Phép nhân số phức:
*Định nghĩa 5: Tích của hai số phức , () là số phức: 
 *Nhận xét: + Với mọi số thực k và mọi số phức (), ta có:
 + với mọi .
*Tính chất của phép nhân số phức:
i, với mọi ii, với mọi 
iii, với mọi 
iv, với mọi 
5, Số phức liên hợp và mô đun của số phức:
*Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của số phức () là và được kí hiệu là . Như vậy, ta có: 
 *Nhận xét: + Số phức liên hợp của lại là , tức là . Do đó ta còn nói và là hai số phức liên hợp với nhau.
 + Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục Ox.
*Tính chất: i, Với mọi ta có: ; 
ii, , (), số luôn là một số thực và 
*Định nghĩa 7: Mô đun của số phức () là số thực không âm và được kí hiệu : .
 *Nhận xét: + khi và chỉ khi .
 + Nếu là số thực thì mô đun của là giá trị tuyệt đối của số thực đó.
6, Phép chia cho số phức khác 0:
*Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức khác 0 là . Thương của phép chia số phức cho số phức khác 0 là tích của với số phức nghịch đảo của , tức là . Như vậy, nếu thì 
 *Chú ý: Có thể viết nên để tính ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu số với . Để ý rằng .
 *Nhận xét: + Với , ta có: .
 + Thương là số phức sao cho . Do đó, có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép nhân.
 + ; ; ; 
B-Phương pháp giải toán:
Dạng 1: Tính toán và Chứng minh
Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
10, 11, 12, 
Bài 2: Xác định phần thực và phần ảo và tính mô đun của mỗi số phức sau:
1, 2, 
3, 4, 
5, 6, 
7, 8, 
9, 10, 
11, 12, 
Bài 3: Tìm và tính biết rằng:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
Bài 4: Cho số phức . Tính: ; ; ; ; ; ; 
Bài 5: Cho số phức . Tính: ; ; ; 
Bài 6: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
1, 2, 
3, 4, 
5, 6, 
Bài 7: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
1, 
2, 
3, 
4, 
Bài 8: Chứng minh rằng các số phức sau là số thực:
1, 2, 
3, 4, 
Bài 9: Chứng minh rằng các số phức sau là số thuần ảo:
1, 2, 
3, 4, 
Bài 10: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1, 2, 
3, 4, 
Bài 11: Hỏi mỗi số phức sau là số thực hay số ảo:
1, 2, 
Bài 12: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
1, 2, 
3, 4, 
Bài 13: Tìm số phức z thoả mãn:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
 7, 8, 
Bài 14: Tìm số phức z thoả mãn:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
 10, 11, 
Bài 15: Tìm số phức z thoả mãn:
1, và 2, và 3, và 
4, và 5, và 
6, và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo của nó.
Bài 16: Tìm số phức z thoả mãn:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, và 8, và 
9, và 10, và là số thuần ảo
Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn:
1, và nhỏ nhất.
2, và là số thuần ảo.
3, nhỏ nhất và là số thực.
4, nhỏ nhất và 
5, lớn nhất và là số thuần ảo.
Bài 18: Tìm số phức z thoả mãn:
1, và nhỏ nhất.
2, và là số thuần ảo.
3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn:
 và 
Bài 19: Tìm số phức z thoả mãn:
1, và 2, và 
3, và 4, và 
5, và 6, và 
7, và 8, và 
Bài 20: 1, Tìm số phức z sao cho là 1 số thực.
2, Cho số phức z thoả mãn: . Tính .
3, Cho số phức z thoả mãn: . Tính .
4, Cho số phức z thoả mãn: . Tính .
5, Cho số phức z thoả mãn: . Tính .
6, Cho số phức z thoả mãn: . Tính .
7, Cho số phức z thoả mãn: là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 21: 1, Cho hàm số: . Chứng minh rằng:
 là một số thực.
2, Cho số phức () thoả mãn: .
Tính giá trị của biểu thức: .
3, Cho số phức . a, Xác định phần thực của w biết rằng và .
b, Chứng minh rằng: Nếu w là số thuần ảo thì .
Bài 22: Một số đề thi Đại Học 	qua các năm:
1,(B-2009) Tìm số phức z thoả mãn: và 
2,(D-2010) Tìm số phức z thoả mãn: và là số thuần ảo.
3,(A-2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết rằng: 
 Cho số phức z thoả mãn: . Tính .
4,(B-2010) Tìm số phức z thoả mãn: và .
5,(A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết: 
 Tính , biết rằng: 
6,(B-2011) Tìm số phức z, biết rằng: .
 Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 
7,(A-2012) Cho số phức z thoả mãn: . Tính biết .
8,(D-2012) Cho số phức z thoả mãn: .
Tính mô đun của số phức .
9,(D-2013) Cho số phức z thoả mãn: .
Tính môđun của số phức w, biết .
Bài 23: 1, Tìm số phức z thoả mãn: và là số ảo.
2, Tìm số phức z thoả mãn: 
3, Tìm các số phức z, w thoả mãn: và 
4, Tìm số phức z thoả mãn: và là số thực.
5, *Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:
 là số thực và là số thuần ảo.
6, Trong tất cả các số phức z thoả mãn , hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
7, Cho số phức z thoả mãn . Tính .
8, Cho số phức z thoả mãn . Tìm số phức .
9, Cho z là số phức thoả mãn là số thuần ảo. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
10, Trong tất cả các số phức z thoả mãn , hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất và số phức có môđun lớn nhất.
Bài 24: 1, *Cho số phức z thoả mãn . Tính .
2, Tìm tất cả các số phức z thoả mãn điều kiện: .
3, Tính môđun của số phức z, biết và z có phần thực dương.
4, Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng: 
5, Tìm số phức z biết: .
6, Tìm số phức z biết: và .
7, Tìm môđun của số phức z biết: .
8, Tìm số phức z thoả mãn: là số thực và .
9, *Tìm số phức z sao cho và là hai số phức liên hợp của nhau.
10, Cho số phức . Tính giá trị của biểu thức:
Bài 25: 1, Cho số phức . Tính môđun của số phức:
2, Tính môđun của số phức z biết: 
3, Cho z và w là hai số phức liên hợp thoả mãn là số thực và .
Tính môđun của số phức z.
4, Tìm số phức z thoả mãn: .
5, Tìm môđun của số phức z, biết: .
6, Cho số phức z thoả mãn: . Tìm phần thực của số phức .
7, Cho số phức z thoả mãn: . Tính .
8, Tìm số phức z, biết: và .
9, Tìm số phức z có môđun bằng 1, đồng thời số phức có môđun lớn nhất.
10, *Cho số phức thoả mãn .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 26: Cho hai số phức và . Chứng minh rằng:
1, 2, 3, 
4, 5, () 6, ()
Bài 27: Cho hai số phức và . Chứng minh rằng:
1, 
2, 
3, 
4, 
Bài 28: Cho hai số phức và . Chứng minh rằng:
1, 2, 3, 
4, 5, 
Bài 29: Cho số phức z thoả mãn . Chứng minh rằng:
1, 2, 
Bài 30: Cho các số phức x, y, z. Chứng minh rằng:
Bài 31: Cho hai số phức và đều có môđun bằng 1.
Chứng minh rằng số phức là số thực, với . 
Bài 32: Giải các bài toán sau:
1, Cho hai số phức , thoả mãn: .
Tính giá trị của biểu thức: .
2, Cho , là 2 số phức thoả mãn phương trình và .
Tính .
3, Cho hai số phức , thoả mãn: và . Tính .
4, Cho , , là các số phức thoả mãn và .
Chứng minh rằng: .
5, Cho hai số phức: () và .
Tìm giá trị của tham số a để .
6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt , thoả mãn điều kiện khi và chỉ khi là số thuần ảo.
Bài 33: Giải các bài toán sau:
1, Cho hai số phức , thoả mãn: , và .
Tìm số phức .
2, Cho hai số phức , . Chứng minh rằng: là 1 số thực.
3, Cho hai số phức , thoả mãn: . Tính .
4, Cho , , là các số phức thoả mãn .
Chứng minh rằng: 
5, Cho số phức thoả mãn điều kiện: . Chứng minh: .
Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm
● Véc tơ biểu diễn số phức .
● Điểm biểu diễn số phức , tức là biểu diễn số phức đó.
● Tập hợp điểm thoả mãn:
 + , : là một đường thẳng
 + : là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
 + , : là một Parabol
 + : là đường tròn tâm , bán kính R.
 + : là hình tròn tâm , bán kính R.
 + , : là một Elip
 + , : là một Hypebol 
Bài 1: Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức:
1, 2, 3, 4, 
Bài 2: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
Bài 3: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1, 2, là số thuần ảo 3, 
 4, (B-2010) 5, (D-2009)
6, 7, 8, 
Bài 4: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
Bài 5: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1, là số thuần ảo 2, là số thực
3, là số thuần ảo 7, là số thực
8, là số thuần ảo 9, là số thực
Bài 6: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1, là số thực âm 2, là số thuần ảo
3, là số thực âm 4, 
5, là số thuần ảo 6, là số thực dương
Bài 7: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
Bài 8: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức thoả mãn:
1, M biểu diễn các số phức , trong đó .
2, M biểu diễn các số phức , với .
Bài 9: Giải các bài toán sau:
1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức , biết .
2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức , biết:
 a, b, c, 
3, Cho số phức . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, biết rằng:
.
4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức , biết: .
Bài 10: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức , , , , , , .
1, Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
2, Tìm điểm Q trong mặt phẳng phức sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành. 
Điểm Q biểu diễn số phức nào?
3, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn. Tìm tâm và tính bán kính đường tròn đó.
Bài 11: Các véc tơ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 
. Chứng minh: 1, 2, 
 3, Nếu thì vuông góc khi và chỉ khi là số thuần ảo.
§2.Căn bậc hai của số phức
Phương trình bậc hai
A-Tóm tắt lý thuyết:
1, Căn bậc hai của số phức:
*Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức z là số phức w sao cho .
*Phương pháp xác định căn bậc hai của số phức:
 Xét số phức . Gọi là căn bậc hai của số phức z.
 + Nếu thì có đúng một căn bậc hai là .
 + Nếu thì căn bậc hai của z là .
 + Nếu thì nên .
 + Nếu thì ta có nên 
 Giải hệ để xác định các giá trị của x, y.
2, Phương trình bậc hai: 
 Xét phương trình bậc hai: , với và .
Ta có biệt thức .
 + Nếu thì phương trình có hai nghiệm trùng nhau: .
 + Nếu , gọi là căn bậc hai của thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; 
*Nhận xét: Hệ thức Viét vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức:
; 
B-Phương pháp giải toán:
Dạng 1: Căn bậc hai và phương trình bậc hai
Bài 1: Xác định căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, (D-2012) 2, 
3, 4, 
5, 6, 
Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, 2, 
3, 4, 
5, 6, 
Bài 5: Gọi là các nghiệm của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
Bài 6: Chứng minh rằng:
1, Hai số phức liên hợp z và là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
2, Nếu phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm phức là z thì cũng là nghiệm của nó.
Bài 7: Lập phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm:
1, và 2, và 
 3, 4, 5, 
Bài 8: Tìm hai số phức biết:
1, Tổng của chúng bằng và tích của chúng bằng .
2, Hiệu của chúng bằng và tích của chúng bằng .
Bài 9: Giải các bài toán sau:
1, Gọi là các nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức: 
2, Gọi là các nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức: 
3, Gọi là các nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức: 
4, Gọi là các nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức: 
5, Gọi là 2 nghiệm phức của phương trình: . 
Tính giá trị của các biểu thức: 
6, Gọi là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: . Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn: 
7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm của phương trình: và điểm B biểu diễn số phức . Tính diện tích của tam giác OAB, với O là gốc toạ độ.
8, Tìm tất cả các số thực b, c sao cho số phức là nghiệm của phương trình: .
9, Gọi là các nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức: 
10, Giả sử a, b, c là 3 số phức thay đổi thoả mãn và z là nghiệm của phương trình: . Chứng minh rằng: 
11, Gọi là các nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức: 
Dạng 2: Phương trình quy về bậc hai
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, 2, 
3, 4, 
5, 6, 
7, 8, 
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
 7, 8, 
Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, 2, 
3, 4, 
5, 6, 
7, 8, 
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: (Phương trình hồi quy)
1, 
2, 
3, 
4, 
5, 
6, 
7, 
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, 2, 
3, 4, 
5, 6, 
7, 8, 
9, 10, 
11, 12, 
Bài 7: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
2, Giải phương trình: 
Bài 8: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
2, Giải phương trình: 
Bài 9: Cho phương trình: 
Chứng minh rằng có 1 nghiệm thuần ảo, từ đó giải phương trình .
Bài 10: Cho phương trình: 
1, Chứng minh rằng là 1 nghiệm của phương trình .
2, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
3, Giải phương trình đã cho.
Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
Với giá trị m tìm được, giải phương trình đã cho.
Bài 12: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
2, Giải phương trình: 
Bài 13: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
2, Giải phương trình: 
Bài 14: Gọi là các nghiệm phức của phương trình: .
Tính giá trị của biểu thức: .
Bài 15: Gọi là các nghiệm phức của phương trình: 
Tính giá trị của biểu thức: .
Bài 16: Cho phương trình: 
1, Chứng tỏ rằng là 1 nghiệm của phương trình .
2, Tìm các còn lại của phương trình .
Dạng 3: Hệ phương trình phức
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1, 2, 
3, 4, 
5, 6, 
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
1, 2, 3, 
Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình sau:
§3. Dạng lượng giác của số phức
A-Tóm tắt lý thuyết:
1, Số phức dưới dạng lượng giác:
 Dạng với , được gọi là dạng lượng giác của số phức .
+ được gọi là argument của số phức z, được xác định bởi số đo của mỗi góc lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức). Argument của số phức z được đo bằng rađian, mọi argument của z có dạng ().
+ r là môđun của số phức z, tức là .
2, Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
 Xét hai số phức ; . Khi đó ta có:
+ , với .
+ , với .
3, Công thức Moivre:
 Xét số phức , với mọi số nguyên dương n ta có:
 *Chú ý: i, Với ta có 
ii, Căn bậc hai của số phức () là hai số phức và 
iii, Từ công thức Moivre, ta cũng có thể chứng minh được căn bậc n của số phức gồm n số phức phân biệt được biểu diễn dưới dạng 
; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến 
B-Phương pháp giải toán:
Dạng 1: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác
● Chuyển số phức từ dạng đại số () sang dạng lượng giác như sau:
 + Tính 
 + Tìm thoả mãn đồng thời và 
Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là .
● Mỗi số phức z đều có nhiều argument, nếu là 1 argument thì mọi argument đều có dạng () và có một argument là .
● Từ công thức nhân, chia dạng lượng giác suy ra nếu lần lượt có một argument là thì và có argument lần lượt là , .
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
Bài 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
Bài 4: 1, Tính và .
2, Viết dưới dạng lượng giác của số phức: .
Bài 5: Tuỳ theo góc , viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
 10, 11, 
Bài 6: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
Bài 7: Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
7, 8, 9, 
Bài 8: Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:
1, 2, 
3, 4, 
5, 6, 
Bài 9: 1, Tính và .
2, Xác định môđun và argument của số phức: .
Bài 10: Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một argument của z là , tìm một argument của số phức:
1, 2, 3, 4, 
Bài 11: Viết dạng lượng giác căn bậc hai của số phức z, biết:
1, và một argument của là .
2, và một argument của là .
3, và một argument của là .
Bài 12: Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng:
1, và một argument của là .
2, và một argument của là .
3, và một argument của bằng một argument của cộng với .
4, và một argument của là .
5, và một argument của là .
6, và một argument của là .
7, và một argument của là .
8, và một argument của là .
Bài 13: Cho hai số phức và .
1, Tính môđun và argument của hai số phức nói trên.
2, Tính môđun và argument của các số phức , và .
3, Từ đó suy ra giá trị chính xác của và .
Bài 14: Cho hai số phức và .
Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
1, 2, 3, 4, 
Bài 15: Cho các số phức , và .
1, Viết dưới dạng lượng giác.
2, Từ đó suy ra giá trị chính xác của và .
3, Tính .
Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác số phức: 
Dạng 2: Vận dụng dạng lượng giác giải toán
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
Bài 2: Tìm số phức z sao cho:
1, và là hai số phức liên hợp 2, và là hai số phức liên hợp
3, và là hai số phức liên hợp 4, 
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1, 2, 3, 4, 
Bài 4: Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực, số ảo?
1, 2, 3, 
4, 5, 6, 
Bài 5: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:
 là số thực và là số thuần ảo.
Bài 6: Giải các bài toán sau:
1, Tính giá trị của biểu thức: 
2, Tìm phần thực, phần ảo của số phức , biết .
3, Cho số phức . Tính .
4, Cho số phức . Tính .
5,(A-2013) Cho số phức . Viết dưới dạng lượng giác của số phức z. Tìm phần thực, phần ảo của số phức .