Giải tích (cơ bản) - Bài 3: Không gian Hilbert

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán
Phần 2. Không gian định chuẩn
Ánh xạ tuyến tính liên tục
§3. Không gian Hilbert
(Phiên bản đã chỉnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 1 tháng 3 năm 2006
I. Phần lý thuyết
1 Tích vô hướng, không gian Hilbert
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1 1. Cho không gian vectơ X trên trường số K(K =
R hoặc K = C).Một ánh xạ từ X ×X vào K, (x, y) → 〈x, y〉
được gọi là một tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
(a) 〈x, x〉 ≥ 0 ∀x ∈ X
〈x, x〉 = 0 ⇔ x = θ
(b) 〈y, x〉 = 〈x, y〉 (〈y, x〉 = 〈x, y〉 nếu K = R), ∀x, y ∈ X
(c) 〈x + x′, y〉 = 〈x, y〉 + 〈x′, y〉 ∀x, x′, y ∈ X
(d) 〈λx, y〉 = λ〈x, y〉 ∀x, y ∈ X,∀λ ∈ K
1
Từ các tính chất i) - iv) ta cũng có:
〈x, y + y′〉 = 〈x, y〉 + 〈x, y′〉, 〈x, λy〉 = λ〈x, y〉
2. Nếu 〈., .〉 là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x→√〈x, x〉
là một chuẩn trên X, gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
3. Nếu 〈., .〉 là tích vô hướng trên X thì cặp(X, 〈., .〉) gọi là một
không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita, không gian với
tích vô hướng). Sự hội tụ, khái niệm tập mở,...,trong (X, 〈., .〉)
luôn được gắn với chuẩn sinh bởi 〈., .〉. Nếu không gian định
chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói (X, 〈., .〉) là không gian
Hilbert.
1.2 Các tính chất
1. Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz: |〈x, y〉| ≤ ‖x‖.‖y‖
2. ‖x + y‖2+‖x− y‖2 = 2(‖x‖2+‖y‖2) (đẳng thức bình hành).
3. Nếu lim xn = a, lim yn = b thì lim〈xn, yn〉 = 〈a, b〉
Ví dụ 1 1. Trong C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b] thì ánh
xạ
(x, y) 7→ 〈x, y〉 =
∫ b
a
x(t)y(t)dt
là một tích vô hướng. Không gian (C[a, b], 〈., .〉) không là không
gian Hilbert.(xây dựng ví dụ tương tự ở phần không gian met-
ric)
2. Trong l2, với x = {λk}, y = {αk}, ta định nghĩa
〈x, y〉 =
∞∑
k=1
λkαk
thì 〈., .〉 là tích vô hướng, (l2, 〈., .〉) là không gian Hilbert.
2
2 Sự trực giao
2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2 Cho không gian với tích vô hướng (X, 〈., .〉) và
x, y ∈ X,φ 6= M ⊂ X.
1. Ta nói x trực giao với y (viết x⊥y) nếu 〈x, y〉
2. Nếu x⊥y ∀y ∈M thì ta viết x⊥M . Ta ký hiệu
M⊥ = {x ∈ X : x ⊥M}
.
2.2 Các tính chất
1. Nếu x ⊥M thì x ⊥ 〈M〉(〈M〉 chỉ không gian con sinh bởi M)
2. Nếu x ⊥ yn ∀n ∈ N∗ và lim yn = y thì x ⊥ y. Suy ra nếu
x ⊥M thì cũng có x ⊥M .
3. M⊥ là một không gian con đóng.
4. Nếu x1, . . . , xn đôi nột trực giao thì
‖x1 + . . . + xn‖2 = ‖x1‖2 + . . . + ‖xn‖2(đẳng thức Pythagore)
Định lý 1 (về phân tích trực giao) Nếu M là một không gian
con đóng của không gian Hilbert (X, 〈., .〉) thì mỗi x ∈ X có duy
nhất phân tích ở dạng
x = y + z, y ∈M, z ∈M⊥ (1)
Phần tử y trong (1) gọi là hình chiếu trực giao của x lên M và
có tính chất
‖x− y‖ = inf
y′∈M
‖x− y′‖.
3
3 Hệ trực chuẩn. Chuỗi Fourier
3.1 Định nghĩa
Cho không gian Hilbert (X, 〈., .〉)
1. Hệ {e1, e2, . . .} ⊂ X gọi là một hệ trực chuẩn nếu
〈ei, ej〉 =
{
0 nếu i 6= j
1 nếu i = j
Như vậy, {en} là hệ trực chuẩn nếu ‖en‖ = 1 ∀n ∈ N∗ và
ei ⊥ ej(i 6= j).
2. Hệ trực chuẩn {en} gọi là đầy đủ, nếu nó có tính chất sau:
(x ⊥ en ∀n = 1, 2, . . .) ⇒ x = θ.
3. Nếu {en} là hệ trực chuẩn thì chuỗi
∑∞
n=1〈x, en〉 · en gọi là chuỗi
Fourier của phần tử x theo hệ chuẩn {en}.
Định lý 2 Cho {en} là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
(X, 〈., .〉) và {λn} là một dãy số. Ta xét chuỗi
∞∑
n=1
λnen (2)
Ta có:
1. Chuỗi (2) hội tụ khi và chỉ khi
∑∞
n=1 |λn|2 <∞.
2. Giả sử chuổi (2) hội tụ và có tổng x thì
‖x‖2 =
∞∑
n=1
|λn|2, 〈x, en〉 = λn ∀n ∈ N∗
4
Định lý 3 Chuỗi Fourier của mọi phần tử x ∈ X theo hệ trực
chuẩn {en} là hội tụ và ta có
∞∑
n=1
|〈x, en〉|2 ≤ ‖x2‖ (bất dẳng thức Bessel).
Ý nghĩa của hệ trực chuẩn đầy đủ được làm rõ trong định lý sau.
Định lý 4 Cho {en} là hệ trực chuẩn. Các mệnh đề sau là tương
đương:
1. Hệ {en} đầy đủ
2.
x =
∞∑
n=1
〈x, en〉en, ∀x ∈ X.
3.
‖x‖2 =
∞∑
n=1
|〈x, en〉|2 ∀x ∈ X (đẳng thức Parseval)
II. Phần Bài tập
Bài tập 1 Trong không gian l1 các dãy số thực x = {λk},
∑∞
k=1 |λk| <
∞ ta định nghĩa
〈x, y〉 =
∞∑
k=1
λk · αk, x = {λk} ∈ l1, y = {αk} ∈ l1
1. Chứng minh 〈., .〉 là một tích vô hướng trên l1.
2. (l1, 〈., .〉) không là không gian Hilbert.
Giải
5
1. Trước tiên ta cần kiểm tra 〈x, y〉 xác định ∀x, y ∈ l1. Thật vậy,
vì limαk = 0 nên {αk} bị chặn: ∃M ∈ R, |αk| ≤M∀k ∈ N∗.
Do đó ∞∑
k=1
|λkαk| ≤M
∞∑
k=1
|λk| <∞
và chuỗi định nghĩa 〈x, y〉 hội tụ.
Các điều kiện của tích vô hướng dễ dàng kiểm tra.
2. Chuẩn sinh bởi 〈., .〉 sẽ là ‖x‖ = (∑∞k=1 λ2k)12 , x = {λk}.
Xét dãy {xn} ⊂ l1 với xn = {1, 12, . . . , 1n, 0, 0, . . .}.
• Ta có {xn} là dãy Cauchy vì với n > m:
xn − xm = {0, . . . , 0, 1
m + 1
, . . . ,
1
n
, 0, 0, . . .}
⇒ ‖xn − xm‖ = (
n∑
k=m+1
1
k2
)
1
2 −→ 0 (khi n,m→∞)
• Ta chứng minh {xn} không hội tụ.
Giả sử trái lại tồn tại a = {αk} ∈ l1 sao cho lim ‖xn−a‖ = 0.
Cố định k ∈ N∗, khi n ≥ k, ta có
|1
k
− αk| ≤ ‖xn − a‖
Từ đây ta có αk =
1
k ∀k ∈ N∗, vô lý vì dãy {1k}k /∈ l1.
Vậy l1 với tích vô hướng trên không là không gian Hilbert.
Bài tập 2 Cho không gian Hilbert X và X0 là không gian con
đóng của X, A : X0 → Y là ánh xạ tuyến tính liên tục(Y là một
không gian định chuẩn). Chứng minh tồn tại ánh xạ tuyến tính
liên tục B : X → Y sao cho B(x) = A(x) ∀x ∈ X0, ‖B‖ = ‖A‖
6
Giải
• Ta định nghĩa ánh xạ A như sau. Theo định lý về phân tích trực
giao, mỗi x ∈ X có duy nhất phân tích
x = y + z, y ∈ X0, z ∈ X⊥0 (3)
và ta đặt B(x) := A(y).
Vì phân tích dạng (3) của x ∈ X0 là x = x + θ nên ta có ngay
B(x) = A(x) ∀x ∈ X0
• Ta kiểm tra B là tuyến tính: với x, x′ ∈ X,α, α′ ∈ K ta viết
phân tích (3) và
x′ = y′ + z′, y′ ∈ X0, z′ ∈ X⊥0
Khi đó:
αx + α′x′ = (αy + α′y′)︸ ︷︷ ︸
∈X0
+ (αz + α′z′)︸ ︷︷ ︸
∈X⊥0
⇒ B(αx + α′x′) = A(αy + α′y′)
= αA(y) + α′A(y′)
= αB(x) + α′B(x′).
• Tiếp theo ta chứng minh B liên tục và ‖B‖ = ‖A‖.
Từ (3) và định lý Pythagore ta có ‖x‖2 = ‖y‖2 + ‖z‖2, do đó:
‖B(x)‖ = ‖A(y)‖ ≤ ‖A‖ · ‖y‖ (Do A liên tục)
⇒ ‖B(x)‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖, ∀x ∈ X
Vậy B liên tục và ‖B‖ ≤ ‖A‖. Mặt khác ta có:
‖B‖ = supx∈X,‖x‖=1 ‖B(x)‖ ≥ supx∈X0,‖x‖=1 ‖B(x)‖
= supx∈X0,‖x‖=1 ‖A(x)‖ = ‖A‖
Vậy ‖B‖ = ‖A‖.
7
Bài tập 3 Cho hệ trực chuẩn {en} trong không gian Hilbert
X. Xét dãy ánh xạ
Pn :X −→ X
Pn(x) =
n∑
k=1
〈x, ek〉ek, x ∈ X,n ∈ N∗.
1. Chứng minh Pn(x) là hình chiếu trực giao của x lên Xn :=
〈e1, . . . , en〉.
2. Giả sử hệ {en} đầy đủ. Chứng minh limn→∞ ||Pn(x)−I(x)|| =
0 ∀x ∈ X nhưng ||Pn−I||9 0(I : X → X là ánh xạ đồng
nhất)
Giải
1. Ta có: x = Pn(x) + (x− Pn(x)), Pn(x) ∈ Xn.
Do đó chỉ còn phải chứng minh x − Pn(x) ∈ X⊥n hay x −
Pn(x) ⊥ Xn. Vì Xn sinh bởi {e1, . . . , en} nên chỉ cần chứng
minh x− Pn(x) ⊥ ei ∀i = 1, . . . , n.Thật vậy:
〈x−Pn(x), ei〉 = 〈x, ei〉−
n∑
k=1
〈x, ek〉〈ek, ei〉 = 〈x, ei〉−〈x, ei〉 = 0
2. – Do đẳng thức Parseval, ta có ∀x ∈ X :
x =
∞∑
k=1
〈x, ek〉 · ek = lim
n→∞
n∑
k=1
〈x, ek〉 · ek = lim
n→∞Pn(x)
– Đặt
Qn(x) = I(x)−Pn(x) =
∞∑
k=n+1
〈x, ek〉·ek, x ∈ X,n = 1, 2 . . .
8
Ta có Qn(x) tuyến tính và
||Qn(x)||2 =
∞∑
k=n+1
|〈x, ek〉|2 ≤ ||x||2 (bđt Bessel)
⇒ Qn liên tục, ||Qn|| ≤ 1
Mặt khác, Qn(en+1) = en+1 và ||Qn|| ≥ ||Qn(en+1||||en+1|| = 1 nên
ta có ||Qn|| = 1 hay ||I − Pn|| = 1
Bài tập 4 Cho {en} là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert X
và {λn} là dãy số.
1. Giả sử {λn} là dãy bị chặn. Chứng minh rằng
A(x) =
∞∑
n=1
λn〈x, en〉 · en x ∈ X (4)
là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào X và ||A|| = supn∈N∗ |λn|
2. Giả sử chuỗi trong (4) hội tụ ∀x ∈ X. Chứng minh {λn} là
dãy bị chặn.
Giải
1. Đặt M = supn∈N∗ |λn|
Đầu tiên ta kiểm tra A xác định hay chứng minh chuỗi trong (4)
hội tụ. Ta có
∞∑
n=1
|λn〈x, en〉|2 ≤M 2
∞∑
n=1
|〈x, en〉|2 ≤M 2 · ||x||2 (5)
nên theo định lý 2, chuỗi trong (4) hội tụ.
Dễ kiểm tra A là ánh xạ tuyến tính. Từ định lý 2 và (5) ta có
9
||A(x)||2 =
∞∑
n=1
|λ〈x, en〉|2 ≤M 2 · ||x||2 ∀x ∈ X
⇒ A liên tục, ||A|| ≤M
Mặc khác ta có:
A(ek) = λkek và ||A(ek)|| ≤ ||A|| ∀k ∈ N∗
nên ||A|| ≥ |λk| ∀k ∈ N∗. Do đó ||A|| ≥ M . Vậy ||A|| = M
đpcm.
2. Từ giả thiết và định lý 2, ta có
∞∑
n=1
|λn|2 · |〈x, en〉|2 <∞ ∀x ∈ X. (6)
Nếu {λn} không bị chặn thì ta tìm được dãy con {λnk}k sao cho
|λnk| > k(k ∈ N∗). Ta có
∞∑
k=1
1
|λnk|2
≤
∞∑
k=1
1
k2
⇒ ∃a :=
∞∑
k=1
1
λnk
enk (theo định lý 2)
Ta có
〈a, en〉 =
{
1
λnk
nếu n = nk
0 nếu n /∈ {n1, n2, . . .}
do đó:
∞∑
n=1
|λn|2 · |〈a, en〉|2 =
∞∑
k=1
|λnk|2 ·
1
|λnk|2
= ∞
Ta gặp mâu thuẩn với (6).
10