Giải tích cơ bản (ôn thi thạc sĩ toán học) giới hạn của dãy số và hàm số

GIẢI TÍCH CƠ BẢN
(ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
PGS. TS Lê Hoàn Hóa
Ngày 11 tháng 10 năm 2004
1 Giới hạn của dãy số
1.1 Định nghĩa
Cho (xn)n là dãy số thực. Ta nói :
• Dãy (xn)n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, ký hiệu lim
n→∞
xn = x hay limxn = x nếu
với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì |xn − x| < .
limxn = x⇐⇒ ∀ > 0,∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn − x| < ⇐⇒ lim |xn − x| = 0
• Dãy (xn)n tiến ra +∞ (theo tứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với
mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứ tự xn < A).
• Dãy (xn)n phân kỳ nếu không có limxn hoặc limxn = +∞ hoặc limxn = −∞.
Như vậy với một dãy (xn)n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn)n hội tụ hoặc (xn)n phân kỳ.
1.2 Định lý cơ bản
1. Nếu(xn)n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn} thì limxn = a. Nếu (xn)n là dãy giảm,
bị chặn dưới và b = inf{xn} thì limxn = b.
2. Giới hạn kẹp : Giả sử : an ≤ xn ≤ bn,∀n ≥ n0 và lim an = lim bn = a. Khi đó limxn = a.
3. Tiêu chuẩn Cauchy :
(xn)n hội tụ ⇐⇒ ∀ > 0,∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0,∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn| < 
1.3 Các giới hạn cơ bản
1. lim
1
nα
= 0,∀α > 0
2. lim qn = 0,∀q, |q| < 1
3. lim n
√
a = 1, ∀a > 0
1
4. lim n
√
np = 1, ∀p ≥ 0
5. lim
np
(1 + a)n
= 0, ∀a > 0, ∀p
6. lim
np
en
= 0, ∀p
7. lim(1 +
1
n
)n = e
8. lim(1− 1
n
)n = e−1
9. lim
lnp n
nα
= 0, ∀α > 0, ∀p
10. lim
n
n
√
n!
= e
1.4 Ví dụ
1.4.1 Ví dụ 1
Với a > 0, cho xn = (1 +
a
n
)n, yn = (1 +
a
n
)n+1, n ∈ N.
1. Chứng minh : (xn)n là dãy tăng, (yn)n là dãy giảm.
2. Chứng minh :(xn)n ,(yn)n hội tụ và limxn = lim yn. Đặt limxn = lim yn = e
a
Giải :
1. Trước tiên ta chứng minh : Với α ≥ −1, (1 + α)n ≥ 1 + nα, ∀n ∈ N .
Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n.
Khi đó, do 1 + α ≥ 0 :
(1 + α)n+1 = (1 + α)n(1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α) = 1 + (n+ 1)α+ α2 ≥ 1 + (n+ 1)α
Ta có, với mọi n ∈ N :
xn+1
xn
=
(1 +
a
n+ 1
)n+1
(1 +
a
n
)n
= (1 +
a
n+ 1
)(
1 +
a
n+ 1
1 +
a
n
)n = (1 +
a
n+ 1
)(1− a
(n+ 1)(n+ a)
)n
≥ (1 + a
n+ 1
)[1− na
(n+ 1)(n+ a)
] = 1 +
a2
(n+ 1)2(n+ a)
> 1
Vậy (xn)n là dãy tăng.
Tương tự :
yn
yn+1
=
(1 +
a
n
)n+1
(1 +
a
n+ 1
)n+2
= (1 +
a
n+ 1
)−1[1 +
a
n(n+ 1 + a)
]n+1
≥ (1− a
n+ 1 + a
)(1 +
(n+ 1)a
n(n+ 1 + a)
) ≥ 1 + (n+ 1)a
n(n+ 1 + a)2
> 1
Vậy (yn)n là dãy giảm.
2
2. Ta có :
(1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ yn ≤ ... ≤ y1 = (1 + a)2
Vậy (xn)n là dãy tăng, bị chặn trên ; (yn)n là dãy giảm, bị chặn dưới, chúng hội tụ. Đặt
limxn = lim yn = lim(1 +
a
n
)n = ea
1.4.2 Ví dụ 2
Cho (xn)n định bởi : x1 =
√
2, xn+1 =
√
2 + xn, ∀n ∈ N . Chứng minh (xn)n là dãy tăng, bị
chặn trên. Tính limxn
Giải :
Ta có : xn ≥ 0, ∀n và
xn+1 − xn =
√
2 + xn − xn = 2 + xn − xn
2
√
2 + xn + xn
Tam thức bậc hai 2 + xn − xn2 ≥ 0⇐⇒ −2 ≤ xn ≤ 2, ∀n.
Bằng quy nạp, ta có : x1 =
√
2 < 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đó : xn+1 =
√
2 + xn ≤ 2
Vậy (xn)n là dãy tăng, bị chặn trên nên (xn)n hội tụ.
Đặt x = lim xn.
Từ đẳng thức xn+1 =
√
2 + xn,∀n ∈ N , cho n→∞, ta có : x =
√
2 + x hay x2−x− 2 = 0
Vậy x = 2.
1.4.3 Ví dụ 3
lim
3n+1 + 2n
3n + 2n
= lim
3n+1[1 + (2/3)
n+1]
3n[1 + (2/3)n]
= 3
1.4.4 Ví dụ 4
Tính lim n
√
an + bn + cn, a, b, c > 0.
Giả sử a = max{a, b, c}. Ta có :
a ≤ n√an + bn + cn = a n
√
1 + (
b
a
)n + (
c
a
)n ≤ a n
√
3
Vậy lim n
√
an + bn + cn = max{a, b, c}
1.4.5 Ví dụ 5
Tính lim n
√
n22n + 3n
Do lim
n2
(3/2)n
= 0 nên có n0 ∈ N sao cho n
2
(3/2)n
< 1, ∀n ≥ n0.
Với n ≥ n0, ta có :
3 ≤ n
√
n22n + 3n = 3 n
√
1 +
n2
(3/2)n
≤ 3 n
√
2
Do định lý giới hạn kẹp lim n
√
n22n + 3n = 3
3
1.4.6 Ví dụ 6
Tính lim sin(pi
√
n2 + 1)
0 ≤ | sin(pi
√
n2 + 1)| = | sin pi(
√
n2 + 1− n)| = | sin( pi√
n2 + 1 + n
)| ≤ pi√
n2 + 1 + n
Vậy lim sin(pi
√
n2 + 1) = 0
BÀI TẬP
Tính các giới hạn sau
1. lim(
√
n2 + 5−√n2 + 3)
2. lim
n sinn
n2 + 1
3. lim
an − bn
an + bn
, ∀a, b > 0
4. limnqn, |q| < 1
5. lim
2n
n!
( HD:
2n
n!
=
2.2...2.2
1.2....(n− 1).n ≤
4
n
)
6. lim
n2
n!
7. Chứng minh : 12 + 22 + ...+ n2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
Tính
12 + 22 + ...+ n2
n3
8. Tính limn( n
√
e− 1)
HD : Dùng thí dụ (1) có bất đẳng thức : (1 +
1
n
)n < e < (1− 1
n− 1)
n, ∀n
9. Cho (xn)n định bởi : x1 =
√
a, xn+1 =
√
a+ xn, ∀n(a > 0)
Xét tính đơn điệu của (xn)n và tính limxn (nếu có).
10. Tính lim
n
2
√
n
HD :
n
2
√
n
= exp[−√n ln 2(1− lnn√
n ln 2
)]
Do lim
lnn√
n ln 2
= 0 nên lim(lnn−√n ln 2) = −∞. Suy ra với mọi A > 0, có n0 ∈ N sao
cho với n ≥ n0 thì n
2
√
n
≤ e−A. Vậy lim n
2
√
n
= 0
4